最短路径经典例题,最短路径高考

1.高考考砸了，一生就毁了吗？

2.2005江西高考数学题及答案

3.2022高考成绩刚过二本线怎样填报志愿 如何稳上二本

4.求高中数学排列组合解题技巧

调理大脑思绪

提前进入数学情境

考前要摒弃杂念，排除干扰思绪，使大脑处于“空白”状态，创设数学情境，进而酝酿数学思维，提前进入“角色”，通过暗示重要知识和方法、提醒常见解题误区和自己易出现的错误等，进行针对性的自我安慰，减轻压力，轻装上阵，以平稳自信、积极主动的心态准备应考。

沉着应战

确保旗开得胜

拿到试题后，不要急于求成、立即下手解题，而应通览一遍整套试题，摸透题情，先稳操一两个易题熟题，让自己产生“旗开得胜”的快意，从而有一个良好的开端，以振奋精神，鼓舞信心，很快进入最佳思维状态，之后做一题得一题，不断产生正激励，稳拿中低，见机攀高。

一“慢”一“快”

相得益彰

审题要慢，解答要快。审题是整个解题过程的“基础工程”，题目本身是“怎样解题”的信息源，必须充分搞清题意，综合所有条件，提炼全部线索，形成整体认识，为形成解题思路提供全面可靠的依据。

先“五”后“五”

因人因卷制宜

1.先易后难：就是先简单后综合，认真对待每一道题，不能走马观花，有难就退，伤害解题情绪。根据自己的情况，啃不动的题目果断跳过.

2.先熟后生：对全卷整体把握之后，就可实施先熟后生的方法，即先做那些内容掌握比较到家、题型结构比较熟悉、解题思路比较清晰的题目。这样，在拿下熟题的同时，可以使思维流畅、超常发挥，达到拿下中高档题目的目的。

3. 先小后大：小题一般是信息量少、运算量小，易于把握，不要轻易放过，应争取在大题之前尽快解决，从而为解决大题赢得时间，创造一个宽松的心理基础

4.先点后面：近年的高考数学解答题多呈现为多问渐难式的“梯度题”，解答时不必一气审到底，应走一步解决一步，而前面问题的解决又为后面问题准备了思维基础和解题条件，所以要步步为营，由点到面

5.先高后低：即在考试的后半段时间，要注重时间效益，如估计两题都会做，则先做高分题;估计两题都不易，则先就高分题实施“分段得分”，以增加在时间不足前提下的得分。

确保运算准确

立足一次成功

数学高考题的容量在120分钟时间内完成大小26个题，时间很紧张，不允许做大量细致的解后检验，所以要稳扎稳打，层层有据，步步准确，不能为追求速度而丢掉准确度，甚至丢掉重要的得分步骤，如速度与准确不可兼得的说，就只好舍快求对了，因为解答不对，再快也无意义。

执果索因，逆向思考

正难则反

对一个问题正面思考发生思维受阻时，用逆向思维的方法去探求新的解题途径，往往能得到突破性的进展，直接证有困难就反证，如用分析法，从肯定结论或中间步骤入手，找充分条件;用反证法，从否定结论入手找必要条件。

讲求规范书写

力争又对又全

考试的又一个特点是以卷面为唯一依据。这就要求不但会而且要对、对且全，全而规范。会而不对，令人惋惜;对而不全，得分不高;表述不规范、字迹不工整又是造成高考数学试卷非智力因素失分的一大方面。因为字迹潦草，会使阅卷老师的第一印象不良，进而使阅卷老师认为考生学习不认真、基本功不过硬、“感情分”也就相应低了，此所谓心理学上的“光环效应”。

面对难题，讲究方法

争取得分

会做的题目当然要力求做对、做全、得满分，而更多的问题是对不能全面完成的题目如何分段得分。下面有两种常用方法。

1.缺步解答：对一个疑难问题，确实啃不动时，一个明智的解题方法是：将它划分为一个个子问题或一系列的步骤，先解决问题的一部分，即能解决到什么程度就解决到什么程度，能演算几步就写几步，每进行一步就可得到这一步的分数。如从最初的把文字语言译成符号语言，把条件和目标译成数学表达式，设应用题的未知数，设轨迹题的动点坐标，依题意正确画出图形等，都能得分。而且可在上述处理中，从感性到理性，从特殊到一般，从局部到整体，产生顿悟，形成思路，获得解题成功。

2.跳步解答：解题过程卡在一中间环节上时，可以承认中间结论，往下推，看能否得到正确结论，如得不出，说明此途径不对，立即改变方向，寻找它途;如能得到预期结论，就再回头集中力量攻克这一过渡环节。若因时间限制，中间结论来不及得到证实，就只好跳过这一步，写出后继各步，一直做到底;另外，若题目有两问，第一问做不上，可以第一问为“已知”，完成第二问，这都叫跳步解答。也许后来由于解题的正迁移对中间步骤想起来了，或在时间允许的情况下，经努力而攻下了中间难点，可在相应题尾补上。

高考考砸了，一生就毁了吗？

数学在命题方面千变万化，知识点又非常容易综合穿插，所以，对那些不擅长整合知识、对数学概念缺乏理解的同学来讲，难免会感到数学很“难"。进入11月之 后，玖久办公室接到的咨询电话陆续多起来，一些外地的家长都在帮助孩子寻找数学的 复习 方法 和解题思维，希望能够提高孩子的数学学习能力，早日让孩子的数学 成绩发生变化。汇总了一下同学和家长的咨询内容，基本上，问题都集中在这上面：“在数学学科上投入很大精力，很努力，但是到头来，只会做老师讲过的题。考 试的时候，题型稍微一变，马上就答不上来，非常让人着急......”

其实，数学是一个简单的学科，因为答案是唯一的，问题又非常明确，比其他学科都容易掌握，分数也更容易提高。那些认为数学难、遇到新题没思路、做了大量习 题，收效却不大的同学其实还是没有抓到数学的学习窍门。从大的方面讲，是学生不懂得什么是学习?从小的方面讲，是学生缺乏数学学习胃口，没有数学思路。学 习是让我们发现一种内在的存在方式，思路是连接知识与问题之间的过程。如果你清楚了解这点，你会非常轻松，也会非常有方向。然后，你就会像阿基米德一样， 发现这个世界。

首先，你要培养三项能力：

这三项能力对于数学成绩的高低起着关键性的作用，高考数学解题的三大能力即：

1、理解知识，知道知识是从哪里来的，要用到哪里去;

2、善于分析，一道题目，能够快速找到可以利用的条件，对应前面的恰当知识;

3、精于思维管理，思路灵活并且善于主动式思考，可以快速精准的解决问题。

在形容这个解题能力的时候，曹老师举个很恰当的例子：一道题，给出我们一些条件，又给出我们一个目标。但是在目标和条件之间，还有一些空，需要我们去填 补，怎样填补?用我们解决问题的思想，将自己理解的知识点填充在空白处。好，这道题你就做的很漂亮。其实学习和工作一样，跟我们应对生活中的任何问题都一 样。我们可以回想一下，在我们遇到问题的时候，我们是不是都会率先抓住问题的要害(善抓重点的人，问题都处理的高效精准。相反，都一盘散沙)?抓住要害就 等于抓住了目标，为了达成这个目标，我们首先数数当前我们拥有什么有利条件，接下来创造一些条件，完成目标。在数学题中，题目就是目标;有利条件就是已知 条件;创造条件，就是利用解决问题的思维，找到的知识点。如果这样去看待问题，你还认为数学抽象吗?我常常对学生讲：学习不应该很辛苦，坚持、努力、鞠躬 尽瘁、呕心沥血这些词语都带有痛苦的成份，不是最佳的学习方式。学习的光明境界是，了之一种内在的存在形式，找到究竟。当我们了之知识存在的形式之后，我们会与他们轻松相应，我们认识每个知识，他们也认识我们，这样的相处才很愉快。

在解题思想上，通过不断寻找“目标前提”也就是必要性思维，是能够做到以不变应万变，大道无形。庄肃钦老师送给全国学生的数学感言“数 学，有着无穷的魅力!她具有音乐般的和谐、图画般的美丽、诗意般的境界;她赋予真理以生命，给我们思想增加光辉;她澄清智慧，涤尽有史以来的蒙昧和无知; 平淡中见新奇，新奇中有艺术，这就是数学。我会和同学们一起，遨游数学之海洋、赏析数学之瑰丽、解除数学之谜题、享受数学之绝妙，在享受数学的道路上不断 探索……”

其次，除高考数学解题的三大能力外，你还要有一套训练有素的数学复习标准步骤，下面就让我们循着通往数学满分的路，看看如何驾驭自己的思想走上数学高分的捷径。

一、解题思路的理解和来源

平时大家评论一个孩子“聪明”或者“不聪明”的依据是看这个孩子对某件事或很多事得反应以及有没有他自己的看法。如一个“聪明”的孩子，往往反应快、思路 清楚，有自己的主见。那么我们认为“反应快、思路清楚、有主见”是聪明的前提。学习成绩好的同学，反应快、思路清楚、有主见就是他们的必备条件。

那么解题也如此，必须反应快、思路清楚、有主见。同一道题，不同的学生从不同的角度去理解，由不同的看法最终汇聚成正确的解题过程，这是解题的必然。无论 是推导、还是硬性套用、凭借 经验 做题，都是思路的一种。有的同学由开始思路不清渐渐转变为清楚，有的同学根本没有思路，这就形成了做题的上的差距。

如果能教会给学生，在处理数学问题上，第一时间最短的思考路径，并且清晰无比，这样，每个学生都是“聪明的孩子”，在做题上就能攻无不克战无不胜。

解题思路的来源就是对题的看法，也就是第一出发点在哪。

二、如何在短期内训练解题能力

数学解题思想其实只要掌握一种即可，即必要性思维。这是解答数学试题的万用法门，也是最直接、最快捷的答题思想。什么是必要性思维?必要性思维就是通过所 求结论或者某一限定条件寻求前提的思想。几乎所有数学命题都可以用这一思想进行解除。这里我用来举两个简单的例子，说明数学必要性思维是如何应用的。

纵观近几年高考数学试题，可以看出试题加强了对知识点灵活应用的考察。这就对考生的思维能力要求大大加强。如何才能提升思维能力，很多考生便依靠题海战 术，寄希望多做题来应对多变的考题，然而凭借题海战术的功底仍然难以获得科学的 思维方式 ，以至收效甚微。最主要的原因就是解题思路随意造成的，并非所谓 “不够用功”等原因。由于思维能力的原因，考生在解答高考题时形成一定的障碍。主要表现在两个方面，一是无法找到解题的切入点，二是虽然找到解题的突破 口，但做这做着就走不下去了。如何解决这两大障碍呢?本章将介绍行之有效的方法，使考生获得有益的启示。

三、寻找解题途径的基本方法——从求解(证)入手

遇到有一定难度的考题我们会发现出题者设置了种种障碍。从已知出发，岔路众多，顺推下去越做越复杂，难得到答案，如果从问题入手，寻找要想获得所求，必须 要做什么，找到“需知”后，将“需知”作为新的问题，直到与“已知“所能获得的“可知”相沟通，将问题解决。事实上，在不等式证明中用的“分析法”就是 这种思维的充分体现，我们将这种思维称为“ 逆向思维 ”——目标前提性思维。

2005江西高考数学题及答案

又到一年高考时，距离2021年高考仅剩下36天了，此时考生心态各种各样：焦虑、敏感、压力大、想要放弃。

如果孩子问你：“我万一高考考砸了怎么办？”家长该如何应对?

"一定要考好啊，不要辜负父母的期望！""考不好你对得起回来削你！""考好考坏都没问题"...恐怕都不是标准答案。

今天特意分享此文，希望能帮大家解惑。请大家积极转发，帮帮你身边的高考生和家长！

想起去年这个时候的某一天，半夜12点，我去上厕所的时候，路过女儿的房间，发现她的灯还亮着。

我轻轻地打开了她的门，本以为是孩子睡觉忘记关灯，后来进去以后才发现她还在彻夜刷题。

“怎么还不睡？”我问道。

“嗯，我再看一会儿。”女儿好像有些烦躁，爱答不理的。

离高考还有一个月，我知道她现在顶着巨大的压力。

“你现在先休息好，别老是看书看到现在。”我试图劝她上床睡觉。

女儿没有回我话，只是深深地叹了口气。

半晌，她声音略带颤抖地问我说：“妈妈，万一我高考考砸了，上不了好大学怎么办？”

我一怔，反问道：“你觉得会怎么办？”

“我觉得如果我考不上好大学，以后……”女儿委屈地都要哭了出来。

我拍着女儿的肩膀笑着说说：“如果你要是考不上大学，那就太棒了，这样你就能一直陪在我身边了，妈妈再也不用担心你一个人在外受苦受累的。”

女儿一惊，万万没有想到我会给她这么一个答案，问我：“妈妈，你怎么是这么想的？”

我继续笑着说：“妈妈刚才是开玩笑的，不过妈妈的中心思想确实是这样想的。即使你考不上好大学也没有关系，上个普通大学也可以啊；考不上普通大学也没关系，我们学些你感兴趣的技能或者通过其他途径上大学，办法多着呢。”

女儿睁大眼睛问我说：“真的吗？”

“当然是真的，你要知道妈妈最想让你从高考这场‘战役’中收获的不仅仅是分数，更多地是希望你能增强你的抗压能力跟学习能力，因为现在的社会发展真的是太快了，如果你只是一个会读书的书呆子，即使你考上了清华北大以后也是会淘汰的啊，对不对？”

女儿点了点头。

“不要过分在意高考的分数，有时候你刻意地在乎它反而达不到理想值，就像小时候我带你去玩沙丘的时候，你记不记得当时你抓了一把沙子？”

女儿又点了点头，说道：“记得，我还记得你当时跟我说，手中的沙子不能紧握，因为你越紧，沙子就会漏的越快。”

“高考也是这样啊，你有时候抓分数抓的越紧，越害怕，反而考不好呢！我希望我的女儿现在能够放轻松，享受高考这个过程，享受吸取知识的过程，而不是刻意在乎这个结果，明白吗？”我又说道。

“明白了。”女儿的面色不再是我刚进屋里的焦虑，逐渐舒展开来，我也放心地给她关了房间的灯，让她休息了。

后来女儿在后面的学习中没有那么大的压力了，每天都忙得开开心心的，最后考上了心仪的大学。

所谓家庭教育，不过是父母在孩子心里种下了精神和情感的，这些伴随我们一同成长。

在有些家庭里，父母种下的是爱、尊重和独立；而在另一些家庭里，种下的则是恐惧、负担或负罪感。

我们必须认识到：养孩子是为了参与一个生命的成长。在和孩子相处的这一路，我们要做的就是要学会修行和改变自己，默默守护，静待花开。

不过静待花开，不是撒手不管。要对成绩优秀的孩子好，因为大多数优秀的孩子都走得很远，你现在跟她的每一天相处都值得珍惜；要对成绩一般的孩子好，因为他们将来多半就在我们身边，会陪我们过节，会陪我们过年。

前阵子网上一位校长的金句"成绩不好的孩子，都是来报恩的"不是就火了吗？

这位校长的话，原文如下，拜读一下：

尊重每个孩子的差异，慢慢养。有的孩子天生就有读书的资质，有的孩子没有。

没有资质的孩子是用来报恩的，因为读书特别好的，将来会去美国、英国、加拿大，见面只能靠。

读书没资质的，等我们老了可以常伴左右，今天载我们去吃牛肉丸，明天载我们去吃海鲜，想想真美好！

说到底都别再羡慕别人家有什么样的儿子或女儿，很多事情冥冥之中早已注定，不必太过强求。用心教育、陪伴成长，自己的孩子就是最好的。

临近高考，许多学生都会出现这样或那样的崩溃情绪。

考前怯场焦虑症

我见过很多同学都有考前怯场焦虑症。

通常他们都有以下的几种“不良反应”：

“哎呀呀，该考试了怎么办？再熬个夜吧，能记多少是多少！”

“不行，单词我还没有背会，生物课本还没复习完，我到底要先看什么？”

“唉，看着都烦，不想学习。”

患有考试焦虑症的童靴一般情况下都不会考的很好，因为他们对知识不是发自主动意愿的，而是被动强塞进去的。

这就是所谓的“硬学”。

明明已经学不进去了，我就是偏偏要学。

正儿八经学到了什么东西了吗？并没有。

因为“硬学”是没有学习的，只是在心里给自己一个“你看我还这么努力”的安慰罢了。

考场慌乱焦虑症

曾经有好几个同学跟我反映。

“老师，我一坐在我考场位置上就忍不住心慌，心慌就算了，还发抖，就是腿抖到我控制都不能控制的地步。”

确实，一到考场就“发抖、脸白、出汗”，这样的情况确实不少。

心理学上有个术语叫做“克拉克现象”。

克拉克是澳大利亚的一个著名的运动员，长跑健将。他在1963年到1968年之间先后17次打破世界纪录。但就是在这期间，在他运动的巅峰时刻，他参加了两次奥运会，一次都没有拿冠军。

什么原因？不是他水平不够，而是在当时最关键的赛场上压力太大，导致他比赛的时候水平失衡。

所以，我们把压力导致的这种现象叫作“克拉克现象”。

面对这样的情况，我强烈建议各位同学在考试之前“画个符”。

上面可以写一些：

“你其实很努力了，加油！”

“一次考试不能代表什么，下次继续就好了。”

诸如此类鼓励的话，在进入考场的时候反复查看，给自己加油打气。

考后自责焦虑症

有的同学一旦没考好，就觉得对不起老师的教诲，对不起同学的关心，尤其对不起父母的爱。想一想父母两鬂斑白的头发，想一想父母眼角的皱纹，越想越是愧疚，是不是？

甚至觉得人生真失败，感觉自己活着都没什么意义了。

其实，考后的自责很多时候是多余的。

按理说更重要的是对自己负责，你不要管别人怎么看你，其实你也管不了。

考好了，你想：“这次模拟考好了，是不是别人没发挥好，我发挥超常才考得那么好呀？”

没考好呢，你又想“老师我怎么那么笨呀？”

所以不论成绩怎么样，你都对自己不放心。

其实，带有这种情绪的话，既影响平时的学习，也影响考后的恢复。

既然焦虑的情绪这么普遍，我们就要学会如何去缓解它。

平时适当运动

运动，确实可以起到缓解压力的作用，因此，面对高考，合理而适时的运动就显得尤为重要。

所以建议各位同学平时在学习之余多去操场上跑跑步。

有的同学可能说了，我不爱跑步，我就爱打篮球怎么办？

也可以啊！

选择自己喜欢的运动方式，能够对减轻心理压力产生事半功倍的效果哦！

深呼吸法

当你面对考试的时候，如果在上文中的“画符法”对你来说没有什么卵用。

毕竟一进考场进严禁带无关纸张，万一因为一张本来是激励自己的“符纸”而造成什么后果的话，学习哥可是不承担任何责任的。

所以遇到这个情况，就很有必要进行一下“深呼吸了”。

深呼吸能在人体体内注入更多氧气，降低心跳频率和血压，减缓呼吸，平复脑电波，更快恢复身心平稳，使人的精力更加旺盛。

多吸两口气，考试更棒棒。

学习内容上回归基础知识

老有家长问我：“为什么我的孩子高考压力这么大？天天睡不着觉的。”

其实原因很简单，就是因为不会做题呗！

总想去做一些过分拔高的题目来表现自己，扩大自己的知识储备，其实有时不仅仅达不到满意的效果，而且还适得其反。

试想，一份过分高水平的试卷摆在你面前，这道题不会，那道题也不会，别说是孩子了，家长也崩溃。

所以，建议各位孩子在临考之前一定要回归基础的，复习整理老师讲过的知识要点就已经足够了，不需要再去啃偏题、难题。

偏题、难题会打击学生的自信心，造成情绪低落。

只要将基础知识掌握清楚，有了一定的知识储备，学生心理便会感觉踏实，降低焦虑感。

高考在即，放下考前的急躁和焦虑，静下心来，把知识点过一遍，把不懂的、不会的、薄弱的地方，逐个破解，俗话说：慢慢来，比较快。在最后这一个多月的时间里，多学会一个知识点，考场上就多一份胜算，离理想中的大学就更进一步。希望每个孩子都能打赢高考这只“纸老虎”，顺利踏进理想的大学！

伴学365，读书好帮手！

2022高考成绩刚过二本线怎样填报志愿 如何稳上二本

2005年江西高考数学试卷（理科）

一．选择题：本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.

1．设集合 则

（A） （B） （C） （D）

2．设复数 若 为实数,则

（A） （B） （C） （D）

3．“ ”是“直线 与圆 相切”的

（A）充分不必要条件 （B）必要不充分条件

（C）充分必要条件 （D）既不充分又不必要条件

4． 的展开式中,含 的正整数次幂的项共有

（A）4项 （B）3项 （C）2项 （D）1项

5．设函数 ,则 为

（A）周期函数,最小正周期为 （B）周期函数,最小正周期为

（C）周期函数,最小正周期为 （D）非周期函数

6．已知向量 ,若 ,则 与 的夹角为

（A） （B） （C） （D）

7．已知函数 的图象如右图所示

（其中 是函数 的导函数）.下

面四个图象中 的图象大致是

8．若 ,则

（A） （B） （C） （D）

9．矩形ABCD中, ,沿AC将矩形ABCD折成一个直二面角 ,则四面体ABCD的外接球的体积为

（A） （B） （C） （D）

10．已知实数 满足等式 ,下列五个关系式

① ② ③ ④ ⑤

其中不可能成立的关系式有

（A）1个 （B）2个 （C）3个 （D）4个

11．在 中,O为坐标原点, ,则当 的面积达到最大值时,

（A） （B） （C） （D）

12．将 这 个数平均分成三组,则每组的三个数都成等差数列的概率为

（A） （B） （C） （D）

二．填空题：本大题共的小题,每小题4分,共16分.请把答案填在答题卡上.

13．若函数 是奇函数,则

14．设实数 满足 ,则 的最大值是＿＿＿＿＿

15．如图,在直三棱柱 中,

分别为 的中点,沿棱柱的表面从

E到F两点的最短路径的长度为＿＿＿＿＿＿

16．以下四个关于圆锥曲线的命题中

①设A、B为两个定点, 为非零常数,若 ,则点P的轨迹为双曲线；

②过定圆C上一定点A作圆的动弦AB,O为坐标原点,若 ,则动点P的轨迹为椭圆；

③方程 的两根可分别作为椭圆和双曲线的离心率；

④双曲线 与椭圆 有相同的焦点.

其中真命题的序号为＿＿＿＿＿＿＿＿（写出所有真命题的序号）.

三．解答题：本大题共6小题,共74分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.

17．（本小题满分12分）

已知函数 为常数）,且方程 有两个实根为

（1）求函数 的解析式；

（2）设 ,解关于 的不等式：

18．（本小题满分12分）

已知向量 ,令

是否存在实数 ,使 （其中 是 的导函数）？若存在,则求

出 的值；若不存在,则证明之.

19．（本小题满分12分）

A、B两位同学各有五张卡片,现以投掷均匀硬币的形式进行游戏,当出现正面朝上时A赢

得B一张卡片,否则B赢得A一张卡片.规定掷硬币的次数达到9次时,或在此前某人已赢

得所有卡片时游戏终止.设 表示游戏终止时掷硬币的次数.

（1）求 的取值范围；

（2）求 的数学期望

20．（本小题满分12分）

如图,在长方体 中, ,点E在棱AB上移动.

（1）证明： ；

（2）当EAB的中点时,求点E到面 的距离；

（3）AE等于何值时,二面角 的大小为 .

21．（本小题满分12分）

已知数列 的各项都是正数,且满足：

（1）证明

（2）求数列 的通项公式

22．（本小题满分14分）

如图,设抛物线 的焦点为F,动点P

在直线 上运动,过P作抛物线

C的两条切线PA、PB,且与抛物线C分别相切

于A、B两点

（1）求 的重心G的轨迹方程；

（2）证明

2005年普通高等学校招生全国统一考试（江西卷）

理科数学参考答案

一、选择题

1．D 2．A 3．A 4．B 5．B 6．C 7．C 8．C 9．C 10．B 11．D 12．A

二、填空题

13． 14． 15． 16．③④

三、解答题

17．解：（1）将 得

（2）不等式即为

即

①当

②当

③ .

18．解：

19．解：（1）设正面出现的次数为m，反面出现的次数为n，则 ，可得：

（2）

20．解法（一）

（1）证明：∵AE⊥平面AA1DD1，A1D⊥AD1，∴A1D⊥D1E

（2）设点E到面ACD1的距离为h，在△ACD1中，AC=CD1= ，AD1= ，

故

（3）过D作DH⊥CE于H，连D1H、DE，则D1H⊥CE，

∴∠DHD1为二面角D1—EC—D的平面角.

设AE=x，则BE=2－x

解法（二）：以D为坐标原点，直线DA，DC，DD1分别为x,y,z轴，建立空间直角坐标系，设AE=x，则A1（1，0，1），D1（0，0，1），E（1，x，0），A（1，0，0）C（0，2，0）

（1）

（2）因为E为AB的中点，则E（1，1，0），从而 ，

，设平面ACD1的法向量为 ，则

也即 ，得 ，从而 ，所以点E到平面AD1C的距离为

（3）设平面D1EC的法向量 ，∴

由 令b=1, ∴c=2,a=2－x，

∴

依题意

∴ （不合，舍去）， .

∴AE= 时，二面角D1—EC—D的大小为 .

21．解：（1）方法一 用数学归纳法证明：

1°当n=1时，

∴ ，命题正确.

2°设n=k时有

则

而

又

∴ 时命题正确.

由1°、2°知，对一切n∈N时有

方法二：用数学归纳法证明：

1°当n=1时， ∴ ；

2°设n=k时有 成立，

令 ， 在[0，2]上单调递增，所以由设

有： 即

也即当n=k+1时 成立，所以对一切

（2）下面来求数列的通项： 所以

,

又bn=－1，所以

22．解：（1）设切点A、B坐标分别为 ，

∴切线AP的方程为：

切线BP的方程为：

解得P点的坐标为：

所以△APB的重心G的坐标为 ，

所以 ，由点P在直线l上运动，从而得到重心G的轨迹方程为：

（2）方法1：因为

由于P点在抛物线外，则

∴

同理有

∴∠AFP=∠PFB.

方法2：①当 所以P点坐标为 ，则P点到直线AF的距离为：

即

所以P点到直线BF的距离为：

所以d1=d2，即得∠AFP=∠PFB.

②当 时，直线AF的方程：

直线BF的方程：

所以P点到直线AF的距离为：

，同理可得到P点到直线BF的距离 ，因此由d1=d2，可得到∠AFP=∠PFB.

求高中数学排列组合解题技巧

和填报所有批次的志愿一样，填报二本志愿前也要权衡各种相关因素，从自己高考分数的竞争力出发，根据自己的个性、兴趣、学习潜力以及人生长远发展规划作出选择。

2022高考二本志愿填报方法

1.二本及以下批次的“压线”考生一定要关注“大小年”。考生在衡量近几年的分数线之后，还要看所选的院校各专业近三年高出本省批次线的平均分，在往年的分数上留有余地。要把握“分有所值，留有余地”的原则，切不可仅以最低录取分作为填报标准。

3.对二本批次“压线”考生而言，中外合作办学是条路径，高考分数分刚压着二本分数线的考生，进二本学校的机会相对较小。家庭经济比较好的考生可以关注各个学校的中外合作办学，这类学校因为收费过高，常常会在第一次录取中无法录满。如果考生填报这类学校，一定要对这类学校的办学合作方进行了解，同时，明确四年的学费构成，结合家庭经济情况考虑。

二本志愿填报方法

考生填报高考志愿时应知己知彼，扬长避短。就是要求考生、家长在高考志愿填报是应根据自己的实际情况、兴趣、家庭经济状况，考虑自己的身体和社会需求。只有这样才能准确设计出高考志愿填报的最佳方案，从而实现进入理想院校、理想专业之目的，实现考生分数的最大价值。

高考数学排列组合方法

排列组合问题联系实际生动有趣，但题型多样，思路灵活，因此解决排列组合问题，首先要认真审题，弄清楚是排列问题、组合问题还是排列与组合综合问题；其次要抓住问题的本质特征，用合理恰当的方法来处理。

复习

1.分类计数原理(加法原理)

完成一件事，有

类办法，在第1类办法中有

种不同的方法，在第2类办法中有

种不同的方法，…，在第

类办法中有

种不同的方法，那么完成这件事共有：

种不同的方法．

2.分步计数原理（乘法原理）

完成一件事，需要分成

个步骤，做第1步有

种不同的方法，做第2步有

种不同的方法，…，做第

步有

种不同的方法，那么完成这件事共有：

种不同的方法．

3.分类计数原理分步计数原理区别

分类计数原理方法相互独立，任何一种方法都可以独立地完成这件事。

分步计数原理各步相互依存，每步中的方法完成的一个阶段，不能完成整个．

解决排列组合综合性问题的一般过程如下:

1.认真审题弄清要做什么事

2.怎样做才能完成所要做的事,即取分步还是分类,或是分步与分类同时进行,确定分多少步及多少类。

3.确定每一步或每一类是排列问题(有序)还是组合(无序)问题,元素总数是多少及取出多少个元素.

4.解决排列组合综合性问题，往往类与步交叉，因此必须掌握一些常用的解题策略

一.特殊元素和特殊位置优先策略

例1.由0,1,2,3,4,5可以组成多少个没有重复数字五位奇数.

解:由于末位和首位有特殊要求,应该优先安排,以免不合要求的元素占了这两个位置.

先排末位共有

然后排首位共有

最后排其它位置共有

由分步计数原理得

位置分析法和元素分析法是解决排列组合问题最常用也是最基本的方法,若以元素分析为主,需先安排特殊元素,再处理其它元素.若以位置分析为主,需先满足特殊位置的要求,再处理其它位置。若有多个约束条件，往往是考虑一个约束条件的同时还要兼顾其它条件

练习题:7种不同的花种在排成一列的花盆里,若两种葵花不种在中间，也不种在两端的花盆里，问有多少不同的种法？

二.相邻元素捆绑策略

例2. 7人站成一排 ,其中甲乙相邻且丙丁相邻, 共有多少种不同的排法.

解：可先将甲乙两元素捆绑成整体并看成一个复合元素，同时丙丁也看成一个复合元素，再与其它元素进行排列，同时对相邻元素内部进行自排。由分步计数原理可得共有

种不同的排法

要求某几个元素必须排在一起的问题,可以用捆绑法来解决问题.即将需要相邻的元素合并为一个元素,再与其它元素一起作排列,同时要注意合并元素内部也必须排列.

练习题:某人射击8枪，命中4枪，4枪命中恰好有3枪连在一起的情形的不同种数为 20

三.不相邻问题插空策略

例3.一个晚会的节目有4个舞蹈,2个相声,3个独唱,舞蹈节目不能连续出场,则节目的出场顺序有多少种？

解:分两步进行第一步排2个相声和3个独唱共有

种，第二步将4舞蹈插入第一步排好的6个元素中间包含首尾两个空位共有种

不同的方法,由分步计数原理,节目的不同顺序共有

种

元素相离问题可先把没有位置要求的元素进行排队再把不相邻元素插入中间和两端

练习题：某班新年联欢会原定的5个节目已排成节目单，开演前又增加了两个新节目.如果将这两个新节目插入原节目单中，且两个新节目不相邻，那么不同插法的种数为 30

四.定序问题倍缩空位插入策略

例4.7人排队,其中甲乙丙3人顺序一定共有多少不同的排法

解:(倍缩法)对于某几个元素顺序一定的排列问题,可先把这几个元素与其他元素一起进行排列,然后用总排列数除以这几个元素之间的全排列数,则共有不同排法种数是：

(空位法)设想有7把椅子让除甲乙丙以外的四人就坐共有

种方法，其余的三个位置甲乙丙共有 1种坐法，则共有

种方法。

思考:可以先让甲乙丙就坐吗?

（插入法)先排甲乙丙三个人,共有1种排法,再把其余4四人依次插入共有 方法

定序问题可以用倍缩法，还可转化为占位插

空模型处理

练习题:10人身高各不相等,排成前后排，每排5人,要求从左至右身高逐渐增加，共有多少排法？

五.重排问题求幂策略

例5.把6名实习生分配到7个车间实习,共有多少种不同的分法

解:完成此事共分六步:把第一名实习生分配到车间有 7 种分法.把第二名实习生分配到车间也有7种分依此类推,由分步计数原理共有

种不同的排法

允许重复的排列问题的特点是以元素为研究对象，元素不受位置的约束，可以逐一安排各个元素的位置，一般地n不同的元素没有限制地安排在m个位置上的排列数为

种

练习题：

1． 某班新年联欢会原定的5个节目已排成节目单，开演前又增加了两个新节目.如果将这两个节目插入原节目单中，那么不同插法的种数为 42

2. 某8层大楼一楼电梯上来8名乘客人,他们到各自的一层下电梯,下电梯的方法

六.环排问题线排策略

例6. 8人围桌而坐,共有多少种坐法?

解：围桌而坐与坐成一排的不同点在于，坐成圆形没有首尾之分，所以固定一人

并从此位置把圆形展成直线其余7人共有（8-1）！种排法即

！

一般地,n个不同元素作圆形排列,共有(n-1)!种排法.如果从n个不同元素中取出m个元素作圆形排列共有

练习题：6颗颜色不同的钻石，可穿成几种钻石圈 120

七.多排问题直排策略

例7.8人排成前后两排,每排4人,其中甲乙在前排,丙在后排,共有多少排法

解:8人排前后两排,相当于8人坐8把椅子,可以把椅子排成一排.个特殊元素有

种,再排后4个位置上的特殊元素丙有

种,其余的5人在5个位置上任意排列有

种,则共有

种

一般地,元素分成多排的排列问题,可归结为一排考虑,再分段研究.

练习题：有两排座位，前排11个座位，后排12个座位，现安排2人就座规定前排中间的3个座位不能坐，并且这2人不左右相邻，那么不同排法的种数是 346

八.排列组合混合问题先选后排策略

例8.有5个不同的小球,装入4个不同的盒内,每盒至少装一个球,共有多少不同的装法.

解:第一步从5个球中选出2个组成复合元共有

种方法.再把4个元素(包含一个复合元素)装入4个不同的盒内有

种方法，根据分步计数原理装球的方法共有

解决排列组合混合问题,先选后排是最基本的指导思想.此法与相邻元素捆绑策略相似吗?

练习题：一个班有6名战士,其中正副班长各1人现从中选4人完成四种不同的任务,每人完成一种任务,且正副班长有且只有1人参加,则不同的选法有 192 种

九.小集团问题先整体后局部策略

例9.用1,2,3,4,5组成没有重复数字的五位数其中恰有两个偶数夹1,5在两个奇数之间,这样的五位数有多少个？

解：把1,5,2,4当作一个小集团与3排队共有

种排法，再排小集团内部共有

种排法，由分步计数原理共有

种排法.

小集团排列问题中，先整体后局部，再结合其它策略进行处理。

练习题：

1.展出10幅不同的画,其中1幅水彩画,4幅油画,5幅国画, 排成一行陈列,要求同一　

品种的必须连在一起，并且水彩画不在两端，那么共有陈列方式的种数为

2. 5男生和5女生站成一排照像,男生相邻,女生也相邻的排法有

种

十.元素相同问题隔板策略

例10.有10个运动员名额，分给7个班，每班至少一个,有多少种分配方案？

解：因为10个名额没有差别，把它们排成一排。相邻名额之间形成9个空隙。在9个空档中选6个位置插个隔板，可把名额分成7份，对应地分给7个班级，每一种插板方法对应一种分法共有

种分法。

将n个相同的元素分成m份（n，m为正整数）,每份至少一个元素,可以用m-1块隔板，插入n个元素排成一排的n-1个空隙中，所有分法数为

练习题：

1． 10个相同的球装5个盒中,每盒至少一有多少装法？

2 .

求这个方程组的自然数解的组数

十一.正难则反总体淘汰策略

例11.从0,1,2,3,4,5,6,7,8,9这十个数字中取出三个数，使其和为不小于10的偶数,不同的

取法有多少种？

解：这问题中如果直接求不小于10的偶数很困难,可用总体淘汰法。这十个数字中有5个偶数5个奇数,所取的三个数含有3个偶数的取法有

,只含有1个偶数的取法有

,和为偶数的取法共有

。再淘汰和小于10的偶数共9种，符合条件的取法共有

有些排列组合问题,正面直接考虑比较复杂,而它的反面往往比较简捷,可以先求出它的反面,再从整体中淘汰.

练习题：我们班里有43位同学,从中任抽5人,正、副班长、团支部书记至少有一人在内的

抽法有多少种?

十二.平均分组问题除法策略

例12. 6本不同的书平均分成3堆,每堆2本共有多少分法？

解: 分三步取书得

种方法,但这里出现重复计数的现象,不妨记6本书为ABCDEF，若第一步取AB第二步取CD,第三步取EF该分法记为(AB,CD,EF),则

中还有(AB,EF,CD),(CD,AB,EF),(CD,EF,AB)(EF,CD,AB),(EF,AB,CD)共有

种取法 ,而这些分法仅是(AB,CD,EF)一种分法,故共有

种分法。

平均分成的组,不管它们的顺序如何,都是一种情况,所以分组后要一定要除以

(

为均分的组数)避免重复计数。

练习题：

1 将13个球队分成3组,一组5个队,其它两组4个队, 有多少分法？（

）

2.10名学生分成3组,其中一组4人, 另两组3人但正副班长不能分在同一组,有多少种不同的

分组方法 （1540）

3.某校高二年级共有六个班级，现从外地转 入4名学生，要安排到该年级的两个班级且每班安

排2名，则不同的安排方案种数为______（

）

十三. 合理分类与分步策略

例13.在一次演唱会上共10名演员,其中8人能能唱歌,5人会跳舞,现要演出一个2人唱歌2人伴舞的节目,有多少选派方法

解：10演员中有5人只会唱歌，2人只会跳舞3人为全能演员。选上唱歌人员为标准进行研究

只会唱的5人中没有人选上唱歌人员共有

种,只会唱的5人中只有1人选上唱歌人员

种,只会唱的5人中只有2人选上唱歌人员有

种，由分类计数原理共有

种。

解含有约束条件的排列组合问题，可按元素的性质进行分类，按发生的连续过程分步，做到标准明确。分步层次清楚，不重不漏，分类标准一旦确定要贯穿于解题过程的始终。

练习题：

1.从4名男生和3名女生中选出4人参加某个座 谈会，若这4人中必须既有男生又有女生，则不同的选法共有34

2. 3成人2小孩乘船游玩,1号船最多乘3人, 2号船最多乘2人,3号船只能乘1人,他们任选2只船或3只船,但小孩不能单独乘一只船, 这3人共有多少乘船方法. （27）

本题还有如下分类标准：

*以3个全能演员是否选上唱歌人员为标准

*以3个全能演员是否选上跳舞人员为标准

*以只会跳舞的2人是否选上跳舞人员为标准 都可经得到正确结果

十四.构造模型策略

例14. 马路上有编号为1,2,3,4,5,6,7,8,9的九只路灯,现要关掉其中的3盏,但不能关掉相邻的2盏或3盏,也不能关掉两端的2盏,求满足条件的关灯方法有多少种？

解：把此问题当作一个排队模型在6盏亮灯的5个空隙中插入3个不亮的灯有

种

一些不易理解的排列组合题如果能转化为非常熟悉的模型，如占位填空模型，排队模型，装盒模型等，可使问题直观解决

练习题：某排共有10个座位，若4人就坐，每人左右两边都有空位，那么不同的坐法有多少种？（120）

十五.实际操作穷举策略

例15.设有编号1,2,3,4,5的五个球和编号1,2,3,4,5的五个盒子,现将5个球投入这五个盒子内,要求每个盒子放一个球，并且恰好有两个球的编号与盒子的编号相同,有多少投法

解：从5个球中取出2个与盒子对号有

种还剩下3球3盒序号不能对应，利用实际操作法，如果剩下3,4,5号球, 3,4,5号盒3号球装4号盒时，则4,5号球有只有1种装法，同理3号球装5号盒时,4,5号球有也只有1种装法,由分步计数原理有

种

3号盒 4号盒 5号盒

对于条件比较复杂的排列组合问题，不易用公式进行运算，往往利用穷举法或画出树状图会收到意想不到的结果

练习题：

1.同一寝室4人,每人写一张贺年卡集中起来,然后每人各拿一张别人的贺年卡，则四张贺年卡不同的分配方式有多少种？ (9)

2.给图中区域涂色,要求相邻区 域不同色,现有4种可选颜色,则不同的着色方法有 72种

十六. 分解与合成策略

例16. 30030能被多少个不同的偶数整除

分析：先把30030分解成质因数的乘积形式30030=2×3×5 × 7 ×11×13

依题意可知偶因数必先取2,再从其余5个因数中任取若干个组成乘积，

所有的偶因数为：

练习:正方体的8个顶点可连成多少对异面直线

解：我们先从8个顶点中任取4个顶点构成四体共有体共

,每个四面体有

分解与合成策略是排列组合问题的一种最基本的解题策略,把一个复杂问题分解成几个小问题逐一解决,然后依据问题分解后的结构,用分类计数原理和分步计数原理将问题合成,从而得到问题的答案 ,每个比较复杂的问题都要用到这种解题策略

3对异面直线,正方体中的8个顶点可连成

对异面直线

十七.化归策略

例17. 25人排成5×5方阵,现从中选3人,要求3人不在同一行也不在同一列,不同的选法有多少种？

解：将这个问题退化成9人排成3×3方阵,现从中选3人,要求3人不在同一行也不在同一列,有多少选法.这样每行必有1人从其中的一行中选取1人后,把这人所在的行列都划掉，如此继续下去.从3×3方队中选3人的方法有

种。再从5×5方阵选出3×3方阵便可解决问题.从5×5方队中选取3行3列有

选法所以从5×5方阵选不在同一行也不在同一列的3人有

选法。

处理复杂的排列组合问题时可以把一个问题退化成一个简要的问题，通过解决这个简要的问题的解决找到解题方法，从而进下一步解决原来的问题

练习题:某城市的街区由12个全等的矩形区组成其中实线表示马路，从A走到B的最短路径有多少种？(

)

十八.数字排序问题查字典策略

例18．由0，1，2，3，4，5六个数字可以组成多少个没有重复的比324105大的数？

解:

数字排序问题可用查字典法,查字典的法应从高位向低位查,依次求出其符合要求的个数,根据分类计数原理求出其总数。

练习:用0,1,2,3,4,5这六个数字组成没有重复的四位偶数,将这些数字从小到大排列起来,第71个数是 3140

十九.树图策略

例19．

人相互传球,由甲开始发球,并作为第一次传球,经过

次传求后,球仍回到甲的手中,则不同的传球方式有______

对于条件比较复杂的排列组合问题，不易用

公式进行运算，树图会收到意想不到的结果

练习: 分别编有1，2，3，4，5号码的人与椅，其中

号人不坐

号椅（

）的不同坐法有多少种？

二十.复杂分类问题表格策略

例20．有红、黄、兰色的球各5只,分别标有A、B、C、D、E五个字母,现从中取5只,要求各字母均有且三色齐备,则共有多少种不同的取法

红

1

1

1

2

2

3

黄

1

2

3

1

2

1

兰

3

2

1

2

1

1

取法

解:

一些复杂的分类选取题,要满足的条件比较多, 无从入手,经常出现重复遗漏的情况,用表格法,则分类明确,能保证题中须满足的条件,能达到好的效果.

二十一：住店法策略

解决“允许重复排列问题”要注意区分两类元素：一类元素可以重复，另一类不能重复，把不能重复的元素看作“客”，能重复的元素看作“店”，再利用乘法原理直接求解.

例21.七名学生争夺五项冠军，每项冠军只能由一人获得，获得冠军的可能的种数有 .

分析：因同一学生可以同时夺得n项冠军，故学生可重复排列，将七名学生看作7家“店”，五项冠军看作5名“客”，每个“客”有7种住宿法，由乘法原理得7

种.

小结

本节课，我们对有关排列组合的几种常见的解题策略加以复习巩固。排列组合历来是学习中的难点，通过我们平时做的练习题，不难发现排列组合题的特点是条件隐晦，不易挖掘，题目多变，解法独特，数字庞大，难以验证。同学们只有对基本的解题策略熟练掌握。根据它们的条件,我们就可以选取不同的技巧来解决问题.对于一些比较复杂的问题,我们可以将几种策略结合起来应用把复杂的问题简单化，举一反三，触类旁通，进而为后续学习打下坚实的基础。