高考理数答案,高考理科数学答案

1.2005江西高考数学题及答案

2.2006上海高考数学试题答案理科

3.2009年和2010年江苏理科数学高考卷试题和答案

2009年普通高等学校招生全国统一考试（福建卷）

数学（理工农医类）

一. 选择题：本小题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1. 函数 最小值是

A．-1 B. C. D.1

1．答案：B

[解析]∵ ∴ .故选B

2.已知全集U=R，集合 ，则 等于

A． { x ∣0 x 2} B { x ∣0<x<2}

C． { x ∣x<0或x>2} D { x ∣x 0或x 2}

2．答案：A

[解析]∵计算可得 或 ∴ .故选A

3.等差数列 的前n项和为 ，且 =6， =4， 则公差d等于

A．1 B C.- 2 D 3

3．答案：C

[解析]∵ 且 .故选C

4. 等于

A． B. 2 C. -2 D. +2

4．答案：D

[解析]∵ .故选D

5.下列函数 中，满足“对任意 ， （0， ），当 < 时，都有 >

的是

A． = B. = C . = D

5．答案：A

[解析]依题意可得函数应在 上单调递减，故由选项可得A正确。

6.阅读右图所示的程序框图，运行相应的程序，输出的结果是w.w.w.k.s.5.u.c.o.m

A．2 B .4 C. 8 D .16

6．答案：C

[解析]由算法程序图可知，在n =4前均执行”否”命令，故n=2×4=8. 故选C

7.设m，n是平面 内的两条不同直线， ， 是平面 内的两条相交直线，则 // 的一个充分而不必要条件是w.w.w.k.s.5.u.c.o.m

A.m // 且l // B. m // l 且n // l

C. m // 且n // D. m // 且n // l

7．答案：B

[解析]若 ，则可得 .若 则存在

8.已知某运动员每次投篮命中的概率都为40%。现采用随机模拟的方法估计该运动

员三次投篮恰有两次命中的概率：先由计算器算出0到9之间取整数值的随机数，

指定1，2，3，4表示命中，5，6，，7，8，9，0表示不命中；再以每三个随机数为一组，代表三次投篮的结果。经随机模拟产生了20组随机数：

907 966 191 925 271 932 812 458 569 683

431 257 393 027 556 488 730 113 537 989

据此估计，该运动员三次投篮恰有两次命中的概率为

A．0.35 B 0.25 C 0.20 D 0.15

8．答案：B

[解析]由随机数可估算出每次投篮命中的概率 则三次投篮命中两次为 0.25故选B

9.设a，b，c为同一平面内具有相同起点的任意三个非零向量，且满足a与b不共线，

a c ∣a∣=∣c∣,则∣b ? c∣的值一定等于w.w.w.k.s.5.u.c.o.m

A． 以a，b为两边的三角形面积 B 以b，c为两边的三角形面积

C．以a，b为邻边的平行四边形的面积 D 以b，c为邻边的平行四边形的面积

9．答案：C

[解析]依题意可得 故选C.

10.函数 的图象关于直线 对称。据此可推测，对任意的非零实数a，b，c，m，n，p，关于x的方程 的解集都不可能是

A. B C D

10. 答案：D

[解析]本题用特例法解决简洁快速，对方程 中 分别赋值求出 代入 求出检验即得.

第二卷 （非选择题共100分）

二、填空题：本大题共5小题，每小题4分，共20分。把答案填在答题卡的相应位置。

11.若 （i为虚数单位， ）则 _________ w.w.w.k.s.5.u.c.o.m

11. 答案：2

解析：由 ，所以 故 。

12．某校开展“爱我海西、爱我家乡”摄影比赛，9位评委为参赛作品A给出的分数如茎叶图所示。记分员在去掉一个最高分和一个最低分后，算的平均分为91，复核员在复核时，发现有一个数字（茎叶图中的x）无法看清。若记分员计算无误，则数字 应该是___________

12. 答案：1

解析：观察茎叶图，

可知有 。

13.过抛物线 的焦点F作倾斜角为 的直线交抛物线于A、B两点，若线段AB的长为8，则 ________________ w.w.w.k.s.5.u.c.o.m

13. 答案：2

解析：由题意可知过焦点的直线方程为 ，联立有 ，又 。

14.若曲线 存在垂直于 轴的切线，则实数 取值范围是_____________.

14. 答案：

解析：由题意可知 ，又因为存在垂直于 轴的切线，

所以 。

15.五位同学围成一圈依序循环报数，规定：

①第一位同学首次报出的数为1，第二位同学首次报出的数也为1，之后每位同学所报出的数都是前两位同学所报出的数之和；

②若报出的数为3的倍数，则报该数的同学需拍手一次

已知甲同学第一个报数，当五位同学依序循环报到第100个数时，甲同学拍手的总次数为________.

15. 答案：5

解析：由题意可设第 次报数，第 次报数，第 次报数分别为 ， ， ，所以有 ，又 由此可得在报到第100个数时，甲同学拍手5次。

三解答题w.w.w.k.s.5.u.c.o.m

16.（13分）

从集合 的所有非空子集中，等可能地取出一个。

（1） 记性质r：集合中的所有元素之和为10，求所取出的非空子集满足性质r的概率；

（2） 记所取出的非空子集的元素个数为 ，求 的分布列和数学期望E

16、解：（1）记”所取出的非空子集满足性质r”为事件A

基本事件总数n= =31

事件A包含的基本事件是{1,4,5}、{2，3，5}、{1，2，3，4}

事件A包含的基本事件数m=3

所以

（II）依题意， 的所有可能取值为1，2，3，4，5

又 ， ，

，

故 的分布列为：

1 2 3 4 5

P

从而E +2 +3 +4 +5

17（13分）

如图，四边形ABCD是边长为1的正方形， ，

，且MD=NB=1，E为BC的中点

（1） 求异面直线NE与AM所成角的余弦值

（2） 在线段AN上是否存在点S，使得ES 平面AMN？若存在，求线段AS的长；若不存在，请说明理由w.w.w.k.s.5.u.c.o.m

17.解析：（1）在如图，以D为坐标原点，建立空间直角坐标

依题意，得 。

，

所以异面直线 与 所成角的余弦值为 .A

（2）假设在线段 上存在点 ，使得 平面 .

,

可设

又 .

由 平面 ，得 即

故 ，此时 .

经检验，当 时， 平面 .

故线段 上存在点 ，使得 平面 ，此时 .

18、（本小题满分13分）

如图，某市拟在长为8km的道路OP的一侧修建一条运动

赛道，赛道的前一部分为曲线段OSM，该曲线段为函数

y=Asin x(A>0, >0) x [0,4]的图象，且图象的最高点为

S(3，2 )；赛道的后一部分为折线段MNP，为保证参赛

运动员的安全，限定 MNP=120

（I）求A , 的值和M，P两点间的距离；

（II）应如何设计，才能使折线段赛道MNP最长？ w.w.w.k.s.5.u.c.o.m

18.本小题主要考查三角函数的图象与性质、解三角形等基础知识，考查运算求解能力以及应用数学知识分析和解决实际问题的能力，考查化归与转化思想、数形结合思想，

解法一

（Ⅰ）依题意，有 ， ，又 ， 。

当 是，

又

（Ⅱ）在△MNP中∠MNP=120°，MP=5，

设∠PMN= ，则0°< <60°

由正弦定理得

,

故

0°< <60°， 当 =30°时，折线段赛道MNP最长

亦即，将∠PMN设计为30°时，折线段道MNP最长

解法二：

（Ⅰ）同解法一

（Ⅱ）在△MNP中，∠MNP=120°，MP=5，

由余弦定理得 ∠MNP=

即

故

从而 ，即

当且仅当 时，折线段道MNP最长

注：本题第（Ⅱ）问答案及其呈现方式均不唯一，除了解法一、解法二给出的两种设计方式，还可以设计为：① ；② ；③点N在线段MP的垂直平分线上等

19、（本小题满分13分）

已知A,B 分别为曲线C： + =1（y 0,a>0）与x轴

的左、右两个交点，直线 过点B,且与 轴垂直，S为 上

异于点B的一点，连结AS交曲线C于点T.

(1)若曲线C为半圆，点T为圆弧 的三等分点，试求出点S的坐标；

（II）如图，点M是以SB为直径的圆与线段TB的交点，试问：是否存在 ,使得O,M,S三点共线？若存在，求出a的值，若不存在，请说明理由。w.w.w.k.s.5.u.c.o.m

19.解析

解法一：

(Ⅰ)当曲线C为半圆时， 如图，由点T为圆弧 的三等分点得∠BOT=60°或120°.

(1)当∠BOT=60°时, ∠SAE=30°.

又AB=2,故在△SAE中,有

(2)当∠BOT=120°时,同理可求得点S的坐标为 ,综上,

(Ⅱ)假设存在 ,使得O,M,S三点共线.

由于点M在以SB为直线的圆上,故 .

显然,直线AS的斜率k存在且k>0,可设直线AS的方程为 .

由

设点

故 ,从而 .

亦即

由 得

由 ,可得 即

经检验,当 时,O,M,S三点共线. 故存在 ,使得O,M,S三点共线.

解法二:

(Ⅰ)同解法一.

(Ⅱ)假设存在a,使得O,M,S三点共线.

由于点M在以SO为直径的圆上,故 .

显然,直线AS的斜率k存在且K>0,可设直线AS的方程为

由

设点 ,则有

故

由 所直线SM的方程为

O,S,M三点共线当且仅当O在直线SM上,即 .

故存在 ,使得O,M,S三点共线.

20、（本小题满分14分）

已知函数 ,且 w.w.w.k.s.5.u.c.o.m

(1) 试用含 的代数式表示b,并求 的单调区间；

（2）令 ,设函数 在 处取得极值，记点M ( , )，N( , )，P( ), ,请仔细观察曲线 在点P处的切线与线段MP的位置变化趋势，并解释以下问题：

（I）若对任意的m ( , x )，线段MP与曲线f(x)均有异于M,P的公共点，试确定t的最小值，并证明你的结论；

（II）若存在点Q(n ,f(n)), x n< m,使得线段PQ与曲线f(x)有异于P、Q的公共点，请直接写出m的取值范围（不必给出求解过程）w.w.w.k.s.5.u.c.o.m

20.解法一:

(Ⅰ)依题意,得

由 .

从而

令

①当a>1时,

当x变化时， 与 的变化情况如下表：

x

+ － +

单调递增 单调递减 单调递增

由此得，函数 的单调增区间为 和 ，单调减区间为 。

②当 时， 此时有 恒成立，且仅在 处 ，故函数 的单调增区间为R

③当 时， 同理可得，函数 的单调增区间为 和 ，单调减区间为

综上：

当 时，函数 的单调增区间为 和 ，单调减区间为 ；

当 时，函数 的单调增区间为R；

当 时，函数 的单调增区间为 和 ，单调减区间为 .

(Ⅱ)由 得 令 得

由（1）得 增区间为 和 ，单调减区间为 ，所以函数 在处 取得极值，故M（ ）N（ ）。

观察 的图象，有如下现象：

①当m从-1（不含-1）变化到3时，线段MP的斜率与曲线 在点P处切线的斜率 之差Kmp- 的值由正连续变为负。

②线段MP与曲线是否有异于H，P的公共点与Kmp－ 的m正负有着密切的关联；

③Kmp－ =0对应的位置可能是临界点，故推测：满足Kmp－ 的m就是所求的t最小值，下面给出证明并确定的t最小值.曲线 在点 处的切线斜率 ；

线段MP的斜率Kmp

当Kmp－ =0时，解得

直线MP的方程为

令

当 时， 在 上只有一个零点 ，可判断 函数在 上单调递增，在 上单调递减，又 ，所以 在 上没有零点，即线段MP与曲线 没有异于M，P的公共点。

当 时， .

所以存在 使得

即当 MP与曲线 有异于M,P的公共点

综上，t的最小值为2.

（2）类似（1）于中的观察，可得m的取值范围为

解法二：

（1）同解法一.

（2）由 得 ，令 ，得

由（1）得的 单调增区间为 和 ，单调减区间为 ，所以函数在处取得极值。故M( ).N( )

(Ⅰ) 直线MP的方程为

由

得

线段MP与曲线 有异于M,P的公共点等价于上述方程在(－1,m)上有根,即函数

上有零点.

因为函数 为三次函数,所以 至多有三个零点,两个极值点.

又 .因此, 在 上有零点等价于 在 内恰有一个极大值点和一个极小值点,即 内有两不相等的实数根.

等价于 即

又因为 ,所以m 的取值范围为(2,3)

从而满足题设条件的r的最小值为2.

21、本题（1）、（2）、（3）三个选答题，每小题7分，请考生任选2题作答，满分14分，如果多做，则按所做的前两题计分。作答时，先用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑，并将所选题号填入括号中，

（1）（本小题满分7分）选修4-4：矩阵与变换w.w.w.k.s.5.u.c.o.m

已知矩阵M 所对应的线性变换把点A(x,y)变成点A ‘(13,5),试求M的逆矩阵及点A的坐标

（2）（本小题满分7分）选修4-4：坐标系与参数方程

已知直线l:3x+4y-12=0与圆C: ( 为参数 )试判断他们的公共点个数

（3）（本小题满分7分）选修4-5：不等式选讲

解不等式∣2x-1∣<∣x∣+1

21.

(1)解:依题意得

由 得 ,故

从而由 得

故 为所求.

(2)解:圆的方程可化为 .

其圆心为 ,半径为2.

(3)解:当x<0时,原不等式可化为

又 不存在;

当 时,原不等式可化为

又

当

综上,原不等式的解集为

2005江西高考数学题及答案

2011年高考题全国卷II数学试题·理科全解全析

科目： 数学 试卷名称 2011年普通高等学校招生全国统一考试·全国卷II(理科)

知识点检索号

新课标

题目及解析

（1）复数 ， 为 的共轭复数，则

（A） （B） （C） （D）

思路点拨先求出的 共轭复数,然后利用复数的运算法则计算即可。

精讲精析选B. .

（2）函数 的反函数为

（A） （B）

（C） （D）

思路点拨先反解用y表示x,注意要求出y的取值范围，它是反函数的定义域。

精讲精析选B.在函数 中， 且反解x得 ，所以 的反函数为 .

（3）下面四个条件中，使 成立的充分而不必要的条件是

（A） （B） （C） （D）

思路点拨本题要把充要条件的概念搞清，注意寻找的是通过选项能推出a>b，而由a>b推不出选项的选项.

精讲精析选A.即寻找命题P使P 推不出P，逐项验证可选A。

（4）设 为等差数列 的前 项和，若 ，公差 ， ，则

（A）8 （B）7 （C）6 （D）5

思路点拨思路一：直接利用前n项和公式建立关于k的方程解之即可。思路二：

利用 直接利用通项公式即可求解，运算稍简。

精讲精析选D.

（5）设函数 ，将 的图像向右平移 个单位长度后，所得的图像与原图像重合，则 的最小值等于

（A） （B） （C） （D）

思路点拨此题理解好三角函数周期的概念至关重要，将 的图像向右平移 个单位长度后，所得的图像与原图像重合，说明了 是此函数周期的整数倍。

精讲精析选C. 由题 ,解得 ，令 ，即得 .

(6)已知直二面角 ，点 ,C为垂足， 为垂足．若AB=2，AC=BD=1，则D到平面ABC的距离等于

(A) (B) (C) (D) 1

思路点拨本题关键是找出或做出点D到平面ABC的距离DE，根据面面垂直的性质不难证明 平面 ，进而 平面ABC,所以过D作 于E，则DE就是要求的距离。

精讲精析选C.

如图，作 于E，由 为直二面角， 得 平面 ，进而 ，又 ，于是 平面ABC，故DE为D到平面ABC的距离。

在 中，利用等面积法得 .

(7)某同学 有同样的画册2本，同样的集邮册3本，从中取出4本赠送给4位朋友每位朋友1本，则不同的赠送方法共有

(A)4种 (B)10种 (C)18种 (D)20种

思路点拨本题要注意画册相同，集邮册相同，这是重复元素，不能简单按照排列知识来铸。所以要分类进行求解。

精讲精析选B.分两类：取出的1本画册，3本集邮册，此时赠送方法有 种；取出的2本画册，2本集邮册，此时赠送方法有 种。总的赠送方法有10种。

(8)曲线y= +1在点(0，2)处的切线与直线y=0和y=x围成的三角形的面积为

(A) (B) (C) (D)1

思路点拨利用导数求出点（0，2）切线方程然后分别求出与直线y=0与y=x的交点问题即可解决。

精讲精析选A. 切线方程是： ,在直角坐标系中作出示意图，即得 。

(9)设 是周期为2的奇函数，当0 ≤x≤1时， = ，则 =

(A) - (B) (C) (D)

思路点拨解本题的关键是把通过周期性和奇偶性把自变量 转化到区间[0,1]上进行求值。

精讲精析选A.

先利用周期性，再利用奇偶性得: .

(10)已知抛物线C： 的焦点为F，直线 与C交于A，B两点 ．则 =

(A) (B) (C) (D)

思路点拨方程联立求出A、B两点后转化为解三角形问题。

精讲精析选D.

联立 ，消y得 ，解得 .

不妨设A在x轴上方，于是A，B的坐标分别为(4,4),(1,-2),

可求 ，利用余弦定理 .

(11)已知平面α截一球面 得圆M，过圆心M且与α成 二面角的平面β截该球面得圆N.若该球面的半径为4，圆M的面积为4 ，则圆N的面积为

(A)7 (B)9 (C)11 (D)13

思路点拨做出如图所示的图示，问题即可解决。

精讲精析选B.

作示意图如，由圆M的面积为4 ，易得 ，

中， 。

故 .

(12)设向量 满足 ，则 的最大值等于

(A)2 (B) (c) (D)1

思路点拨本题按照题目要求构造出如右图所示的几何图形，然后分析观察不难得到当线段AC为直径时， 最大.

精讲精析选A.如图，构造

所以A、B、C、D四点共圆，分析可知当线段AC为直径时， 最大，最大值为2.

(13)(1- )20的二项展开式中，x的系数与x9的系数之差为: .

思路点拨解本题一个掌握展开式的通项公式，另一个要注意 .

精讲精析0. 由 得 的系数为 , x9的系数为 ,而 .

(14)已知a∈( ， )，sinα= ，则tan2α=

思路点拨本题涉及到同角三角函数关系式,先由正弦值求出余弦值一定要注意角的范围，再求出正切值，最后利用正切函数的倍角公式即可求解。

精讲精析 .由a∈( ， )，sinα= 得 ,

.

(15)已知F1、F2分别为双曲线C: - =1的左、右焦点，点A∈C，点M的坐标为(2，0)，AM为∠F1AF2的平分线．则|A F2| = .

思路点拨本题用内角平分线定理及双曲线的定义即可求解。

精讲精析6.

由角平分线定理得： ,故 .

(16)己知点E、F分别在正方体ABCD-A1B2C3D4的棱BB 1 、CC1上，且B1E=2EB, CF=2FC1，则面AEF与面ABC所成的二面角的正切值等于 .

思路点拨本题应先找出两平面的交线，进而找出或做出二面角的平面角是解决此问题的关键,延长EF必与BC相交，交点为P，则AP为面AEF与面ABC的交线.

精讲精析 .延长EF交BC的延长线于P，则AP为面AEF与面ABC的交线，因为 ，所以 为面AEF与面ABC所成的二面角的平面角。

(17)(本小题满分l0分)(注意：在试题卷上作答无效)

△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c.己知A—C=90°，a+c= b，求C.

思路点拨解决本题的突破口是利用正弦定理把边的关系转化为角的正弦的关系，然后再结合A—C=90°,得到 .即可求解。

精讲精析选D.由 ，得A为钝角且 ，

利用正弦定理， 可变形为 ，

即有 ，

又A、B、C是 的内角，故

或 (舍去)

所以 。

所以 .

(18)(本小题满分12分)(注意：在试题卷上作答无效)

根据以往统计资料，某地车主购买甲种 保险 的概率为0．5，购买乙种保险但不购买甲种保险的概率为0.3,设各车主购买保险相互独立

(I)求该地1位车主至少购买甲、乙两种保险中的l种的概率；

(Ⅱ)X表示该地的l00位车主中，甲、乙两种保险都不购买的车主数。求X的期望。 思路点拨解本题应首先主出该车主购买乙种保险的概率为p,利用乙种保险但不购买甲种保险的概率为0.3，即可求出p=0.6.然后（ii）利用相互独立事件的概率计算公式和期望公式计算即可.

精讲精析设该车主购买乙种保险的概率为p,由题意知： ，解得 。

（I） 设所求概率为P1，则 .

故该地1位车主至少购买甲、乙两种保险中的1种的概率为0.8。

（II） 对每位车主甲、乙两种保险都不购买的概率为 。

所以X的期望是20人。

（19）如图，四棱锥 中， , ，侧面 为等边三角形， .

（Ⅰ）证明： ;

（Ⅱ)求 与平面 所成角的大小.

思路点拨本题第（I）问可以直接证明，也可建系证明。

（II）建立空间直角坐标系，利用空间向量的坐标运算计算把求角的问题转化为数值计算问题,思路清晰思维量小。

精讲精析计算SD=1， ，于是 ，利用勾股定理，可知 ，同理，可证

又 ，

因此， .

（II）过D做 ，如图建立空间直角坐标系D-xyz，

A(2,-1,0),B(2,1,0),C(0,1,0),

可计算平面SBC的一个法向量是

.

所以AB与平面SBC所成角为 .

（20）设数列 满足 且

（Ⅰ）求 的通项公式；

（Ⅱ）设

思路点拨解本题突破口关键是由式子 得到 是等差数列，进而可求出数列 的通项公式.（II）问求出 的通项公式注意观察到能采用裂项相消的方式求和。

精讲精析 (I) 是公差为1的等差数列，

所以

(II)

.

（21）已知O为坐标原点，F为椭圆 在y轴正半轴上的焦点，过F且斜率为 的直线 与C交与A、B两点，点P满足

(Ⅰ)证明：点P在C上；

（Ⅱ）设点P关于点O的对称点为Q，证明：A、P、B、Q四点在同一圆上.

思路点拨方程联立利用韦达定理是解决这类问题的基本思路，注意把 用坐标表示后求出P点的坐标，然后再结合直线方程把P点的纵坐标也用A、B两点的横坐标表示出来。从而求出点P的坐标代入椭圆方程验证即可证明点P在C上。(II)此问题证明有两种思路：思路一：关键是证明 互补.通过证明这两个角的正切值互补即可，再求正切值时要注意利用倒角公式。

思路二：根据圆的几何性质圆心一定在弦的垂直平分线上，所以根据两条弦的垂直平分线的交点找出圆心N，然后证明N到四个点A、B、P、Q的距离相等即可.

精讲精析 (I)设

直线 ，与 联立得

由 得

,

所以点P在C上。

（II）法一：

同理

所以 互补，

因此A、P、B、Q四点在同一圆上。

法二：由 和题设知， ,PQ的垂直平分线 的方程为 …①

设AB的中点为M，则 ，AB的垂直平分线 的方程为 …②

由①②得 、 的交点为

,

, ,

故 .

所以A、P、B、Q四点在同一圆圆N上.

（22）（本小题满分12分）（注意：在试题卷上作答无效）

（Ⅰ）设函数 ，证明：当 时， ；

（Ⅱ）从编号1到100的100张卡片中每次随即抽取一张，然后放回，用这种方式连续抽取20次，设抽得的20个号码互不相同的概率为 .证明：

思路点拨本题第（I）问是利用导数研究单调性最值的常规题，不难证明。

第(II)问证明如何利用第（I）问结论是解决这个问题的关键也是解题能力高低的体现。

精讲精析(I)

所以 在 上单增。

当 时， 。

（II）

由(I)，当x<0时， ,即有

故

于是 ,即 .

利用推广的均值不等式：

另解： ，

所以 是上凸函数，于是

因此

故

综上：

2006上海高考数学试题答案理科

2005年江西高考数学试卷（理科）

一．选择题：本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.

1．设集合 则

（A） （B） （C） （D）

2．设复数 若 为实数,则

（A） （B） （C） （D）

3．“ ”是“直线 与圆 相切”的

（A）充分不必要条件 （B）必要不充分条件

（C）充分必要条件 （D）既不充分又不必要条件

4． 的展开式中,含 的正整数次幂的项共有

（A）4项 （B）3项 （C）2项 （D）1项

5．设函数 ,则 为

（A）周期函数,最小正周期为 （B）周期函数,最小正周期为

（C）周期函数,最小正周期为 （D）非周期函数

6．已知向量 ,若 ,则 与 的夹角为

（A） （B） （C） （D）

7．已知函数 的图象如右图所示

（其中 是函数 的导函数）.下

面四个图象中 的图象大致是

8．若 ,则

（A） （B） （C） （D）

9．矩形ABCD中, ,沿AC将矩形ABCD折成一个直二面角 ,则四面体ABCD的外接球的体积为

（A） （B） （C） （D）

10．已知实数 满足等式 ,下列五个关系式

① ② ③ ④ ⑤

其中不可能成立的关系式有

（A）1个 （B）2个 （C）3个 （D）4个

11．在 中,O为坐标原点, ,则当 的面积达到最大值时,

（A） （B） （C） （D）

12．将 这 个数平均分成三组,则每组的三个数都成等差数列的概率为

（A） （B） （C） （D）

二．填空题：本大题共的小题,每小题4分,共16分.请把答案填在答题卡上.

13．若函数 是奇函数,则

14．设实数 满足 ,则 的最大值是＿＿＿＿＿

15．如图,在直三棱柱 中,

分别为 的中点,沿棱柱的表面从

E到F两点的最短路径的长度为＿＿＿＿＿＿

16．以下四个关于圆锥曲线的命题中

①设A、B为两个定点, 为非零常数,若 ,则点P的轨迹为双曲线；

②过定圆C上一定点A作圆的动弦AB,O为坐标原点,若 ,则动点P的轨迹为椭圆；

③方程 的两根可分别作为椭圆和双曲线的离心率；

④双曲线 与椭圆 有相同的焦点.

其中真命题的序号为＿＿＿＿＿＿＿＿（写出所有真命题的序号）.

三．解答题：本大题共6小题,共74分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.

17．（本小题满分12分）

已知函数 为常数）,且方程 有两个实根为

（1）求函数 的解析式；

（2）设 ,解关于 的不等式：

18．（本小题满分12分）

已知向量 ,令

是否存在实数 ,使 （其中 是 的导函数）？若存在,则求

出 的值；若不存在,则证明之.

19．（本小题满分12分）

A、B两位同学各有五张卡片,现以投掷均匀硬币的形式进行游戏,当出现正面朝上时A赢

得B一张卡片,否则B赢得A一张卡片.规定掷硬币的次数达到9次时,或在此前某人已赢

得所有卡片时游戏终止.设 表示游戏终止时掷硬币的次数.

（1）求 的取值范围；

（2）求 的数学期望

20．（本小题满分12分）

如图,在长方体 中, ,点E在棱AB上移动.

（1）证明： ；

（2）当EAB的中点时,求点E到面 的距离；

（3）AE等于何值时,二面角 的大小为 .

21．（本小题满分12分）

已知数列 的各项都是正数,且满足：

（1）证明

（2）求数列 的通项公式

22．（本小题满分14分）

如图,设抛物线 的焦点为F,动点P

在直线 上运动,过P作抛物线

C的两条切线PA、PB,且与抛物线C分别相切

于A、B两点

（1）求 的重心G的轨迹方程；

（2）证明

2005年普通高等学校招生全国统一考试（江西卷）

理科数学参考答案

一、选择题

1．D 2．A 3．A 4．B 5．B 6．C 7．C 8．C 9．C 10．B 11．D 12．A

二、填空题

13． 14． 15． 16．③④

三、解答题

17．解：（1）将 得

（2）不等式即为

即

①当

②当

③ .

18．解：

19．解：（1）设正面出现的次数为m，反面出现的次数为n，则 ，可得：

（2）

20．解法（一）

（1）证明：∵AE⊥平面AA1DD1，A1D⊥AD1，∴A1D⊥D1E

（2）设点E到面ACD1的距离为h，在△ACD1中，AC=CD1= ，AD1= ，

故

（3）过D作DH⊥CE于H，连D1H、DE，则D1H⊥CE，

∴∠DHD1为二面角D1—EC—D的平面角.

设AE=x，则BE=2－x

解法（二）：以D为坐标原点，直线DA，DC，DD1分别为x,y,z轴，建立空间直角坐标系，设AE=x，则A1（1，0，1），D1（0，0，1），E（1，x，0），A（1，0，0）C（0，2，0）

（1）

（2）因为E为AB的中点，则E（1，1，0），从而 ，

，设平面ACD1的法向量为 ，则

也即 ，得 ，从而 ，所以点E到平面AD1C的距离为

（3）设平面D1EC的法向量 ，∴

由 令b=1, ∴c=2,a=2－x，

∴

依题意

∴ （不合，舍去）， .

∴AE= 时，二面角D1—EC—D的大小为 .

21．解：（1）方法一 用数学归纳法证明：

1°当n=1时，

∴ ，命题正确.

2°假设n=k时有

则

而

又

∴ 时命题正确.

由1°、2°知，对一切n∈N时有

方法二：用数学归纳法证明：

1°当n=1时， ∴ ；

2°假设n=k时有 成立，

令 ， 在[0，2]上单调递增，所以由假设

有： 即

也即当n=k+1时 成立，所以对一切

（2）下面来求数列的通项： 所以

,

又bn=－1，所以

22．解：（1）设切点A、B坐标分别为 ，

∴切线AP的方程为：

切线BP的方程为：

解得P点的坐标为：

所以△APB的重心G的坐标为 ，

所以 ，由点P在直线l上运动，从而得到重心G的轨迹方程为：

（2）方法1：因为

由于P点在抛物线外，则

∴

同理有

∴∠AFP=∠PFB.

方法2：①当 所以P点坐标为 ，则P点到直线AF的距离为：

即

所以P点到直线BF的距离为：

所以d1=d2，即得∠AFP=∠PFB.

②当 时，直线AF的方程：

直线BF的方程：

所以P点到直线AF的距离为：

，同理可得到P点到直线BF的距离 ，因此由d1=d2，可得到∠AFP=∠PFB.

2009年和2010年江苏理科数学高考卷试题和答案

上海数学(理工农医类)参考答案

一、(第1题至笫12题)

1. 1 2. 3. 4. 5. －1+i 6. 7.

8. 5 9. 10. 36 11. k=0,－1<b<1 12. a≤10

二、(第13题至笫16题)

13. C 14. A 15. A 16. D

三、(第17题至笫22题)

17.解：y=cos(x+ ) cos(x－ )+ sin2x

=cos2x+ sin2x=2sin(2x+ )

∴函数y=cos(x+ ) cos(x－ )+ sin2x的值域是[－2,2],最小正周期是π.

18.解：连接BC,由余弦定理得BC2=202+102－2×20×10COS120°=700.

于是,BC=10 .

∵ , ∴sin∠ACB= ,

∵∠ACB<90° ∴∠ACB=41°

∴乙船应朝北偏东71°方向沿直线前往B处救援.

19.解：(1) 在四棱锥P-ABCD中,由PO⊥平面ABCD,得

∠PBO是PB与平面ABCD所成的角, ∠PBO=60°.

在Rt△AOB中BO=ABsin30°=1, 由PO⊥BO,

于是,PO=BOtg60°= ,而底面菱形的面积为2 .

∴四棱锥P-ABCD的体积V= ×2 × =2.

(2)解法一：以O为坐标原点,射线OB、OC、OP分别为x轴、y轴、z轴的正半轴建立空间直角坐标系.

在Rt△AOB中OA= ,于是,点A、B、D、P的坐标分别是A(0,－ ,0),

B(1,0,0),D(－1,0,0)P(0,0, ).

E是PB的中点,则E( ,0, ) 于是 =( ,0, ), =(0, , ).

设 的夹角为θ,有cosθ= ,θ=arccos ,

∴异面直线DE与PA所成角的大小是arccos .

解法二：取AB的中点F,连接EF、DF.

由E是PB的中点,得EF‖PA,

∴∠FED是异面直线DE与PA所成角(或它的补角).

在Rt△AOB中AO=ABcos30°= =OP,

于是, 在等腰Rt△POA中,PA= ,则EF= .

在正△ABD和正△PBD中,DE=DF= .

cos∠FED= =

∴异面直线DE与PA所成角的大小是arccos .

20.证明：（1）设过点T(3,0)的直线l交抛物线y2=2x于点A(x1,y1)、B(x12,y2).

当直线l的钭率下存在时,直线l的方程为x=3,此时,直线l与抛物线相交于点A(3, )、B(3,－ ).∴ =3

当直线l的钭率存在时,设直线l的方程为y=k(x－3),其中k≠0.

当 y2=2x

得ky2－2y－6k=0,则y1y2=－6.

y=k(x－3)

又∵x1= y , x2= y ,

∴ =x1x2+y1y2= =3.

综上所述, 命题“如果直线l过点T(3,0),那么 =3”是真命题.

(2)逆命题是：设直线l交抛物线y2=2x于A、B两点,如果 =3,那么该直线过点T(3,0).该命题是假命题.

例如：取抛物线上的点A(2,2),B( ,1),此时 =3,

直线AB的方程为Y= (X+1),而T(3,0)不在直线AB上.

说明：由抛物线y2=2x上的点A(x1,y1)、B(x12,y2)满足 =3,可得y1y2=－6.

或y1y2=2,如果y1y2=－6.,可证得直线AB过点(3,0)；如果y1y2=2, 可证得直线AB过点(－1,0),而不过点(3,0).

21.证明(1)当n=1时,a2=2a,则 =a；

2≤n≤2k－1时, an+1=(a－1) Sn+2, an=(a－1) Sn－1+2,

an+1－an=(a－1) an, ∴ =a, ∴数列{an}是等比数列.

解(2)由(1)得an=2a , ∴a1a2…an=2 a =2 a =a ,

bn= (n=1,2,…,2k).

（3）设bn≤ ,解得n≤k+ ,又n是正整数,于是当n≤k时, bn< ；

当n≥k+1时, bn> .

原式=( －b1)+( －b2)+…+( －bk)+(bk+1－ )+…+(b2k－ )

=(bk+1+…+b2k)－(b1+…+bk)

= = .

当 ≤4,得k2－8k+4≤0, 4－2 ≤k≤4+2 ,又k≥2,

∴当k=2,3,4,5,6,7时,原不等式成立.

22.解(1) 函数y=x+ (x>0)的最小值是2 ,则2 =6, ∴b=log29.

(2)设0<x1<x2,y2－y1= .

当 <x1<x2时, y2>y1, 函数y= 在[ ,+∞)上是增函数；

当0<x1<x2< 时y2<y1, 函数y= 在(0, ]上是减函数.

又y= 是偶函数,于是,该函数在(－∞,－ ]上是减函数, 在[－ ,0)上是增函数.

(3)可以把函数推广为y= (常数a>0),其中n是正整数.

当n是奇数时,函数y= 在(0, ]上是减函数,在[ ,+∞) 上是增函数,

在(－∞,－ ]上是增函数, 在[－ ,0)上是减函数.

当n是偶数时,函数y= 在(0, ]上是减函数,在[ ,+∞) 上是增函数,

在(－∞,－ ]上是减函数, 在[－ ,0)上是增函数.

F(x)= +

=

因此F(x) 在 [ ,1]上是减函数,在[1,2]上是增函数.

所以,当x= 或x=2时, F(x)取得最大值( )n+( )n；

当x=1时F(x)取得最小值2n+1.

图画不到。

2010 年江苏高考数学试题 一、填空题 1、设集合A={-1,1,3}，B={a+2,a 2 +4},A∩B={3}，则实数a=______▲________ 2、设复数z满足z(2-3i)=6+4i（其中i为虚数单位），则z的模为______▲________ 3、盒子中有大小相同的3只小球，1只黑球，若从中随机地摸出两只球，两只球颜色不同的概率是_▲__ 4、某棉纺厂为了了解一批棉花的质量，从中随机抽取了100根棉花纤维的长度（棉花纤维的长度是棉花质量的重要指标），所得数据都在区间[5,40]中，其频率分布直方图如图所示，则其抽样的100根中，有_▲___根在棉花纤维的长度小于20mm。 5、设函数f(x)=x(e x +ae -x ),x∈ R ，是偶函数，则实数a=_______▲_________ 6、在平面直角坐标系xOy中，双曲线 上一点M，点M的横坐标是3，则M到双曲线右焦点的距离是___▲_______ 7、右图是一个算法的流程图，则输出S的值是______▲_______ 开始 S←1 n←1 S←S+2 n S≥33 n←n+1 否 输出S 结束 是 8、函数y=x 2 (x>0)的图像在点(a k ,a k 2 )处的切线与x轴交点的横坐标为a k+1 ,k为正整数，a 1 =16，则a 1 +a 3 +a 5 =____▲_____ 9、在平面直角坐标系xOy中，已知圆 上有且仅有四个点到直线12x-5y+c=0的距离为1，则实数c的取值范围是______▲_____ 10、定义在区间 上的函数y=6cosx的图像与y=5tanx的图像的交点为P，过点P作PP 1 ⊥x轴于点P 1 ,直线PP 1 与y=sinx的图像交于点P 2 ,则线段P 1 P 2 的长为_______▲_____ 11、已知函数 ,则满足不等式 的x的范围是____▲____ 12、设实数x,y满足3≤ ≤8，4≤ ≤9，则 的最大值是_____▲____ 13、在锐角三角形ABC，A、B、C的对边分别为a、b、c， ，则 __▲ 14、将边长为1的正三角形薄片，沿一条平行于底边的直线剪成两块，其中一块是梯形，记S= ,则S的最小值是_______▲_______ 二、解答题 15、（14分）在平面直角坐标系xOy中，点A(-1,-2),B(2,3),C(-2,-1) (1)求以线段AB、AC为邻边的平行四边形两条对角线的长 (2)设实数t满足( )· =0，求t的值 16、（14分）如图，四棱锥P-ABCD中，PD⊥平面ABCD，PD=DC=BC=1,AB=2,AB∥DC，∠BCD=90 0 (1)求证：PC⊥BC (2)求点A到平面PBC的距离 17、（14分）某兴趣小组测量电视塔AE的高度H(单位m），如示意图，垂直放置的标杆BC高度h=4m，仰角∠ABE=α，∠ADE=β (1)该小组已经测得一组α、β的值，tanα=1.24,tanβ=1.20,,请据此算出H的值 (2)该小组分析若干测得的数据后，发现适当调整标杆到电视塔的距离d（单位m），使α与β之差较大，可以提高测量精确度，若电视塔实际高度为125m，问d为多少时，α-β最大 A B O F 18.（16分）在平面直角坐标系 中，如图，已知椭圆 的左右顶点为A,B，右顶点为F，设过点T（ ）的直线TA,TB与椭圆分别交于点M ， ，其中m>0, ①设动点P满足 ,求点P的轨迹 ②设 ，求点T的坐标 ③设 ,求证：直线MN必过x轴上的一定点 （其坐标与m无关） 19．（16分）设各项均为正数的数列 的前n项和为 ，已知 ，数列 是公差为 的等差数列. ①求数列 的通项公式（用 表示） ②设 为实数，对满足 的任意正整数 ，不等式 都成立。求证： 的最大值为 20.（16分）设 使定义在区间 上的函数，其导函数为 .如果存在实数 和函数 ，其中 对任意的 都有 >0，使得 ，则称函数 具有性质 . (1)设函数 ，其中 为实数 ①求证：函数 具有性质 ②求函数 的单调区间 (2)已知函数 具有性质 ，给定 ， ，且 ，若| |<| |,求 的取值范围 理科附加题 21（从以下四个题中任选两个作答，每题10分） (1)几何证明选讲 AB是⊙O的直径，D为⊙O上一点，过点D作⊙O的切线交AB延长线于C，若DA=DC，求证AB=2BC (2)矩阵与变换 在平面直角坐标系xOy中，A(0,0),B(-3,),C(-2,1),设k≠0，k∈R，M= ,N= ,点A、B、C在矩阵MN对应的变换下得到点A 1 ,B 1 ,C 1 ,△A 1 B 1 C 1 的面积是△ABC面积的2倍，求实数k的值 (3)参数方程与极坐标 在极坐标系中，圆ρ=2cosθ与直线3ρcosθ+4ρsinθ+a=0相切，求实数a的值 (4)不等式证明选讲 已知实数a,b≥0，求证： 22、（10分）某厂生产甲、乙两种产品，生产甲产品一等品80%，二等品20%；生产乙产品，一等品90%，二等品10%。生产一件甲产品，如果是一等品可获利4万元，若是二等品则要亏损1万元；生产一件乙产品，如果是一等品可获利6万元，若是二等品则要亏损2万元。设生产各种产品相互独立 （1）记x（单位：万元）为生产1件甲产品和件乙产品可获得的总利润，求x的分布列 （2）求生产4件甲产品所获得的利润不少于10万元的概率 23、（10分）已知△ABC的三边长为有理数 （1）求证cosA是有理数 （2）对任意正整数n，求证cosnA也是有理数 绝密★启用前 学科网 2009年普通高等学校招生全国统一考试（江苏卷） 学科网 数学Ⅰ 学科网 注 意 事 项 考生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求 1.本试卷共4页，包含填空题（第1题——第14题）、解答题（第15题——第20题）。本卷满分160分，考试时间为120分钟。考试结束后，请将本卷和答题卡一并交回。 2.答题前，请您务必将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置。 3.请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与您本人是否相符。 4.请在答题卡上按照晤顺序在对应的答题区域内作答，在其他位置作答一律无效。作答必须用0.5毫米黑色墨水的签字笔。请注意字体工整，笔迹清楚。 5.如需作图，须用2B铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗。 6.请保持答题卡卡面清洁，不要折叠、破损。 学科网 学科网 学科网 学科网 学科网 学科网 学科网 学科网 学科网 学科网 学科网 学科网 学科网 参考公式： 学科网 样本数据 的方差 学科网 一、填空题：本大题共 14 小题，每小题 5 分，共 70 分。请把答案填写在答题卡相应的位置上 . 学科网 1.若复数 ，其中 是虚数单位，则复数 的实部为★. 学科网 2.已知向量 和向量 的夹角为 ， ，则向量 和向量 的数量积 ★ . 学科网 3.函数 的单调减区间为 ★ . 学科网 1 1 O x y 4.函数 为常数， 在闭区间 上的图象如图所示，则 ★ . 学科网 学科网 5.现有5根竹竿，它们的长度（单位：m）分别为2.5，2.6，2.7，2.8，2.9，若从中一次随机抽取2根竹竿，则它们的长度恰好相差0.3m的概率为 ★ . 学科网 6.某校甲、乙两个班级各有5名编号为1，2，3，4，5的学生进行投篮练习，每人投10次，投中的次数如下表： 学科网 学生 1号 2号 3号 4号 5号 甲班 6 7 7 8 7 乙班 6 7 6 7 9 开始 输出 结束 Y N 则以上两组数据的方差中较小的一个为 ★ . 学科网 7.右图是一个算法的流程图，最后输出的 ★ . 学科网 8.在平面上，若两个正三角形的连长的比为1：2，则它们的面积比为1：4，类似地，在宣传部，若两个正四面体的棱长的比为1：2，则它们的体积比为 学科网 9.在平面直角坐标系 中，点P在曲线 上，且在第二象限内，已知曲线C在点P处的切线的斜率为2，则点P的坐标为 ★ . 学科网 10.已知 ，函数 ，若实数 满足 ，则 的大小关系为 ★ . 学科网 11.已知集合 ， ，若 则实数 的取值范围是 ，其中 ★ . 学科网 12.设和 为不重合的两个平面，给出下列命题： 学科网 （1）若 内的两条相交直线分别平行于 内的两条直线，则 平行于 ； 学科网 （2）若 外一条直线 与 内的一条直线平行，则和 平行； 学科网 （3）设和 相交于直线 ，若 内有一条直线垂直于 ，则和 垂直； 学科网 （4）直线 与 垂直的充分必要条件是 与 内的两条直线垂直. 学科网 上面命题中，真命题的序号 ★ （写出所有真命题的序号）. 学科网 13．如图，在平面直角坐标系 中， 为椭圆 的四个顶点， 为其右焦点，直线 与直线 相交于点T，线段 与椭圆的交点 恰为线段 的中点，则该椭圆的离心率为 ★ . 学科网 x y A 1 B 2 A 2 O T M 学科网 学科网 14．设 是公比为 的等比数列， ，令 若数列 有连续四项在集合 中，则 ★ . 学科网 学科网 二、解答题：本大题共 6 小题，共计 90 分，请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明或演算步骤 . 学科网 15．（本小题满分14分） 学科网 设向量 学科网 （1）若与 垂直，求 的值； 学科网 （2）求 的最大值; 学科网 （3）若 ，求证： ∥ . 学科网 16．（本小题满分14分） 学科网 A B C A 1 B 1 C 1 E F D 如图，在直三棱柱 中， 分别是 的中点，点在上， 学科网 求证：（1） ∥ 学科网 （2） 学科网 17．（本小题满分14分） 学科网 设 是公差不为零的等差数列， 为其前 项和，满足 学科网 （1）求数列 的通项公式及前 项和 ； 学科网 （2）试求所有的正整数 ，使得 为数列 中的项. 学科网 18．（本小题满分16分） 学科网 在平面直角坐标系 中，已知圆 和圆 学科网 x y O 1 1 . . 学科网 （1）若直线 过点 ，且被圆 截得的弦长为 ，求直线 的方程； 学科网 （2）设P为平面上的点，满足：存在过点P的无穷多对互相垂的直线 ，它们分别与圆 和圆 相交，且直线 被圆 截得的弦长与直线 被圆 截得的弦长相等，试求所有满足条件的点P的坐标. 学科网 19.(本小题满分16分) 学科网 按照某学者的理论，假设一个人生产某产品单件成本为 元，如果他卖出该产品的单价为 元，则他的满意度为 ；如果他买进该产品的单价为 元，则他的满意度为 .如果一个人对两种交易(卖出或买进)的满意度分别为 和 ，则他对这两种交易的综合满意度为 . 学科网 现假设甲生产A、B两种产品的单件成本分别为12元和5元，乙生产A、B两种产品的单件成本分别为3元和20元，设产品A、B的单价分别为 元和 元，甲买进A与卖出B的综合满意度为 ，乙卖出A与买进B的综合满意度为 学科网 (1) 求和 关于 、 的表达式；当时，求证： = ； 学科网 (2) 设 ，当、 分别为多少时，甲、乙两人的综合满意度均最大？最大的综合满意度为多少？ 学科网 (3) 记(2)中最大的综合满意度为 ，试问能否适当选取 、 的值，使得 和 同时成立，但等号不同时成立？试说明理由。 学科网 学科网 20．(本小题满分16分) 学科网 设 为实数，函数 . 学科网 (1) 若 ，求 的取值范围； 学科网 (2) 求 的最小值； 学科网 (3) 设函数 ，直接写出(不需给出演算步骤)不等式 的解集. 学科网 学科网 学科网 学科网 学科网 学科网 学科网 学科网 学科网 学科网 学科网 学科网 学科网 学科网 学科网 学科网 学科网 学科网 学科网 学科网 学科网 学科网 学科网 学科网 学科网 学科网 学科网