高考数列放缩_高考数列放缩法
2024-05-22 10:16:03
我的思路是这样的：
a1=1，所以也就要证明1/a2+...+1/an<1/2，于是很容易想到尝试一下，能不能搞成a2>4,a3>8,an>2^n，这样1/4+1/8+...肯定小于1/2。事实上，这样成功了。
下证明：当n>1时，an>2^n，即3^n>2^(n+1)，遇到这种情况最简单的处理莫过于数学归纳法。
n=2时，9>8，成立
当n=k时成立，则当n=k+1时，由于3^k>2^(k+1)，显然有3^(k+1)>2^(k+2)，因此对n=k+1成立
所以对一切n>1，有an>2^n
所以原始<1/1+1/4+1/8+...+1/2^n<3/2
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