高考数列难题汇总,高考数列难题

1/a1+1/a2+1/a3+1/a4+1/a5=（1/a3）（q?+q+1+1/q+1/q?）=25

相除得（a3）?=121/25

于是a3=11/5

1/q?+1/q+1+q+q?=55

[（1/q）+q]?+[（1/q）+q]-56=0

得[（1/q）+q]=7或[（1/q）+q]=-8舍

于是q?-7q+1=0

q=（1/2）（7±3根号5）＞0

于是an=（11/5）q^（n-3），其中q=（1/2）（7±3根号5）

用到如下结论：

如果 0<=xi<=1, i=1,2,...n, 则 (1-x1)(1-x2)...(1-xn) >= 1-(x1+x2+...+xn)

证明：n=1时，显然成立。假设 结论在 n=N-1时，成立，则 n=N时，有：

(1-x1)(1-x2)...(1-xN) >= （1-(x1+x2+...+x(N-1))(1-xN)

= 1 -（x1+...+xN)+(x1+...+x(N-1))xN

>= 1-(x1+x2+...+xN)

回到原题：

[1-(1/3)][1-(1/3)^2][1-(1/3)^3]·…·[1-(1/3)^n]

>= 1 - ( 1/3+ 1/3^2+...+ 1/3^n)

> 1 - 1/3 * 1/(1-1/3)=1/2