高考数列大题20道_高考数列大题及答案
如果一个数列从第2项起,每一项与它的前一项的比等于同一个常数,这个数列就叫做等比数列。这个常数叫做等比数列的公比,公比通常用字母q表示(q≠0)。
(1)等比数列的通项公式是:An=A1*q^(n-1)
若通项公式变形为an=a1/q*q^n(n∈N*),当q>0时,则可把an看作自变量n的函数,点(n,an)是曲线y=a1/q*q^x上的一群孤立的点。
(2)求和公式:Sn=nA1(q=1)
Sn=A1(1-q^n)/(1-q)
=(a1-a1q^n)/(1-q)
=a1/(1-q)-a1/(1-q)*q^n ( 即A-Aq^n)
(前提:q不等于 1)
任意两项am,an的关系为an=am·q^(n-m)
(3)从等比数列的定义、通项公式、前n项和公式可以推出: a1·an=a2·an-1=a3·an-2=…=ak·an-k+1,k∈{1,2,…,n}
(4)等比中项:aq·ap=ar^2,ar则为ap,aq等比中项。
记πn=a1·a2…an,则有π2n-1=(an)2n-1,π2n+1=(an+1)2n+1
另外,一个各项均为正数的等比数列各项取同底数后构成一个等差数列;反之,以任一个正数C为底,用一个等差数列的各项做指数构造幂Can,则是等比数列。在这个意义下,我们说:一个正项等比数列与等差数列是“同构”的。
(5无穷递缩等比数列各项公式:
无穷递缩等比数列各项公式:对于等比数列 的前 项和,当 无限增大时的极限,叫做这个无穷递缩数列的各项的和。
[编辑本段]性质
①若 m、n、p、q∈N*,且m+n=p+q,则am*an=ap*aq;
②在等比数列中,依次每 k项之和仍成等比数列.
“G是a、b的等比中项”“G^2=ab(G≠0)”.
③若(an)是等比数列,公比为q1,(bn)也是等比数列,公比是q2,则
(a2n),(a3n)…是等比数列,公比为q1^2,q1^3…
(can),c是常数,(an*bn),(an/bn)是等比数列,公比为q1,q1q2,q1/q2。
(5) 等比数列前n项之和Sn=A1(1-q^n)/(1-q)=A1(q^n-1)/(q-1)=(A1q^n)/(q-1)-A1/(q-1)
在等比数列中,首项A1与公比q都不为零.
注意:上述公式中A^n表示A的n次方。
(6)由于首项为a1,公比为q的等比数列的通向公式可以写成an*q/a1=q^n,它的指数函数y=a^x有着密切的联系,从而可以利用指数函数的性质来研究等比数列。
2010年普通高等学校招生全国统一考试
数 学(理科)
本试题卷分选择题和非选择题两部分。全卷共5页,选择题部分1至2页,非选择题部分3至5页。满分150分,考试时间120分钟。
请考生按规定用笔将所有试题的答案涂、写在答题纸上。
选择题部分(共50分)
注意事项:
1.答题前,考生务必将自己的姓名、准考证号用黑色字迹的签字笔或钢笔填写在答题纸规定的位置上。
2.每小题选出答案后,用2B铅笔把答题纸上对应题目的答案标号涂黑,如需改动,用像皮擦干净后,再选涂其它答案标号。不能答在试题卷上。
参考公式:
如果事件A、B互斥,那么 柱体的体积公式
P(A+B)=P(A)+P(B)
如果事件A、B相互独立,那么 其中S表示柱体的底面积,表示柱体的高
P(A·B)=P(A)·P(B) 锥体的体积公式
如果事件A在一次试验中发生的概率是P,那么n
次独立重复试验中恰好发生k次的概率 其中S表示锥体的底面积,表示锥体的高
球的表面积公式
台体的体积公式
球的体积公式
其中S1,S2分别表示台体的上、下底面积
表示台体的高 其中R表示球的半径
一、选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
(1)设
(A) (B) (C) (D)
(2)某程序框图如图所示,若输出的S=57,则判断框内为
(A) (B)
(C) (D)
(3)设为等比数列的前项和,,则
(A)11 (B)5
(C)-8 (D)-11
(4)设,则“”
是“”的
(A)充分而不必不必要条件
(B)必要而不充分条件
(C)充分必要条件
(D)既不充分也不必要条件
(5)对任意复数为虚数单位,则下列结论正确的是
(A) (B) (C) (D)
(6)设是两条不同的直线,是一个平面,则下列命题正确的是
(A)若 (B)若
(C)若 (D)若
(7)若实数满足不等式组且的最大值为9,则实数
(A)-2 (B)-1 (C)1 (D)2
(8)设F1,F2分别为双曲线的左、右焦点。若在双曲线右支上存在点P,满足,且F2到直线PF1的距离等于双曲线的实轴长,则该双曲的渐近线方程为
(A) (B) (C) (D)
(9)设函数,则在下列区间中函数不存在零点的是
(A)[-4,-2] (B)[-2,0] (C)[0,2] (D)[2,4]
(10)设函数的集合,平面上点的集合,则在同一直角坐标系中,P中函数的图象恰好经过Q中两个点的函数的个数是
(A)4 (B)6 (C)8 (D)10
绝密★考试结束前
2010年普通高等学校招生全国统一考试
数学(理科)
非选择题部分(共100分)
注意事项:
1.用黑色字迹的签字笔或钢笔将答案写在答题纸上,不能答在试题卷上。
2.在答题纸上作图,可先使用2B铅笔,确定后必须使用黑色字迹的签字笔或钢笔描黑。
二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分。
(11)函数的最小正周期是 。
(12)若某几何体的三视图(单位:cm)如图所示,
则此几何体的体积是 cm3.
(13)设抛物线的焦点为F,点
。若线段FA的中点B在抛物线上,
则B到该抛物线准线的距离为 。
(14)设
=,将的最小值记为,则其中 。
(15)设为实数,首项为,公差为的等差数列的前项和为,满足则的取值范围是 。
(16)已知平面向量满足的夹角为120°则 。
(17)有4位同学在同一天的上、下午参加“身高与体重”、“立定跳远”、“肺活量”、“握力”、“台阶”五个项目的测试,每位同学上、下午各测试一个项目,且不重复,若上午不测“握力”项目,下午不测“台阶,其余项目上、下午都各测试一人,则不同的安排方式共有种 (用数字作答)。
三、解答题:本大题共5小题,共72分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
(18)(本题满分14分)在中,角A、B、C所对的边分别为a,b,c,已知
(I)求的值;
(II)当a=2,时,求b及c的长.
(19)(本题满分14分)如图,一个小球从M处投入,通过管道自上面下落到A或B或C,已知小球从每个叉口落入左右两个管道的可能性是相等的。 某商家按上述投球方式进行促销活动,若投入的小球落到A,B,C,则分别设为1,2,3等奖.
(I)已知获得1,2,3等奖的折扣率分别为50%,70%,90%,记随机变量为获得等奖的折扣率,求随机变量的分布列及数学期望
(II)若有3人次(投入1球为1人次)参加促销活动,记随机变量为获得1等奖或2等奖的人次,求P().
(20)(本题满分15分)如图,在矩形ABCD中,点E,F分别在线段AB,AD上,AE=EB=AF=沿直线EF将翻折成使平面平面BEF.
(I)求二面角的余弦值;
(II)点M,N分别在线段FD,BC上,若沿直线MN将四边形MNCD向上翻折,使C
与重合,求线段FM的长.
(21)(本题满分15分)已知,直线椭圆 分别为椭圆C的左、右焦点.
(I)当直线过右焦点F2时,求直线的方程;
(II)设直线与椭圆C交于A,B两点,,的重心分别为G,H.若原点O在以线段GH为直径的圆内,求实数m的取值范围.
(22)(本题满分14分)已知a是给定的实常数,设函数是的一个极大值点.
(I)求b的取值范围;
(II)设是的3个极值点,问是否存在实数b,可找到,使得的某种排列(其中)依次成等差数列?若存在,示所有的b及相应的若不存在,说明理由.
参考答案
一、选择题:本题考查基本知识和基本运算。每小题5分,满分50分。
(1)B (2)A (3)D (4)B (5)D
(6)B (7)C (8)C (9)A (10)B
二、填空题:本题考查基本知识和基本运算。每小题4分,满分28分。
(11) (12)144 (13)
(14) (15)
(16) (17)264
三、解答题:本大题共5小题,共72分。
(18)本题主要考查三角交换、正弦定理、余弦定理等基础知识,同时考查运算求解能力。满分14分。
(Ⅰ)解:因为,
及
所以
(Ⅱ)解:当时,
由正弦定理,得
由及得
由余弦定理,得
解得
所以
(19)本题主要考查随机事件的概率和随机变量的分布列、数学期望、二项分布等概念,同时考查抽象概括、运算求解能力和应用意识。满分14分。
(Ⅰ)解:由题意得的分布列为
50% 70% 90%
P
则
(Ⅱ)解:由(Ⅰ)知,获得1等奖或2等奖的概率为
由题意得
则
(20)本题主要考查空间点、线、面位置关系,二面角等基础知识,空间向中量的应用,同时考查空间想象能力和运算求解能力。满分15分。
方法一:
(Ⅰ)解:取线段EF的中点H,连结
因为及H是EF的中点,
所以
又因为平面平面BEF,及平面
所以平面BEF。
如图建立空间直角坐标系
则
故
设为平面的一个法向量
所以
取
又平面BEF的一个法向量
故
所以二面角的余弦值为
(Ⅱ)解:设
因为翻折后,C与A重合,所以CM=
故,
得
经检验,此时点N在线段BG上
所以
方法二:
(Ⅰ)解:取截段EF的中点H,AF的中点G,连结,NH,GH
因为及H是EF的中点,
所以H//EF。
又因为平面EF平面BEF,
所以H`平面BEF,
又平面BEF,
故,
又因为G,H是AF,EF的中点,
易知GH//AB,
所以GH,
于是面GH
所以为二面角—DF—C的平面角,
在中,
所以
故二面角—DF—C的余弦值为。
(Ⅱ)解:设,
因为翻折后,G与重合,
所以,
而
得
经检验,此时点N在线段BC上,
所以
(21)本题主要考查椭圆的几何性质,直线与椭圆,点与圆的位置关系等基础知识,同时考查解析几何的基本思想方法和综合解题能力。满分15分
(Ⅰ)解:因为直线经过
所以
又因为
所以
故直线的方程为
(Ⅱ)解:设,
由消去得
则由,
知
且有
由于
故O为F1F2的中点,
由,
可知
设M是GH的中点,则
由题意可知,
好
即
而
所以
即
又因为
所以
所以的取值范围是(1,2)。
(22)本题主要考查函数极值的概念、导数运算法则、导数应用及等差数列基础知识,同时考查推理论证能力,分类讨论等综合解题能力和创新意识,满分14分。
(Ⅰ)解:
令
则
于是可设是的两实根,且
(1)当时,则不是的极值点,此时不合题意
(2)当时,由于是的极大值点,
故
即
即
所以
所以的取值范围是(-∞,)
(Ⅱ)解:由(Ⅰ)可知,假设存了及满足题意,则
(1)当时,则
于是
即
此时
或
(2)当时,则
①若
于是
即
于是
此时
②若
于是
即
于是
此时
综上所述,存在满足题意
当
当
当
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